Verifique se mu(x, t) = e^(-a^2 k^2 t) * cos(k x), a > 0 e k em R, satisfaz à equa cão unidimensional do calor mu_t = a^2 * u_xx, devida a Foursier (1768-1830);

Passo 1

Vamos verificar se a função , onde e , satisfaz a equação unidimensional do calor dada por . Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais e e comparar os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Como , a única parte que depende de é .
A derivada de em relação a é . Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . Primeiro, encontramos a primeira derivada :
Agora, calculamos a segunda derivada :

Passo 4

Agora, substituímos na equação do calor para verificar se :

Resposta

Sim, a função satisfaz a equação unidimensional do calor .

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