Calcule as integrais definidas:
(j)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso está relacionado ao estudo de integrais em cálculo, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a secante de x.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como integrar a função . A integral de é uma das integrais trigonométricas que tem um resultado especial. A fórmula é:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após encontrar a antiderivada. Então, vamos usar a fórmula que acabamos de ver e aplicar os limites de e .

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada em cada limite. Primeiro, para :
E depois, para :

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas nesses pontos.
Sabemos que:
  • , então
E para :
  • , então

Passo 6

Substituindo esses valores nas expressões que temos:
Para :
Porque é negativo, e o logaritmo exige o valor positivo, então tiramos o valor absoluto.
Para :
O mesmo raciocínio vale aqui.

Passo 7

Agora, a integral definida é a diferença entre esses valores:

Resposta

A integral definida é igual a 0.

Exercícios relacionados

Encontrar a função tal que:
(e) e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e .