Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
no intervalo de
até
. Isso está relacionado ao estudo de integrais em cálculo, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a secante de x.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como integrar a função
. A integral de
é uma das integrais trigonométricas que tem um resultado especial. A fórmula é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 3
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após encontrar a antiderivada. Então, vamos usar a fórmula que acabamos de ver e aplicar os limites de
e
.
Passo 4
Vamos calcular a antiderivada em cada limite. Primeiro, para
:
E depois, para
:
Passo 5
Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas nesses pontos.
Sabemos que:
-
, então -
E para
:
-
, então -
Passo 6
Substituindo esses valores nas expressões que temos:
Para
:
Porque
é negativo, e o logaritmo exige o valor positivo, então tiramos o valor absoluto.
Para
:
O mesmo raciocínio vale aqui.
Passo 7
Agora, a integral definida é a diferença entre esses valores:
Resposta
A integral definida
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Encontrar a função
tal que:
(e) e
(e)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e
(b)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo
.
(a)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e
.
(f)