Calcule as integrais definidas:
(j) integral3 pi4^5 pi4 sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de no intervalo de até . Isso está relacionado ao estudo de integrais em cálculo, especificamente integrando funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar a secante de x.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como integrar a função integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C . A integral de é uma das integrais trigonométricas que tem um resultado especial. A fórmula é:
Onde é a constante de integração.

Passo 3

Como estamos lidando com uma integral definida, vamos aplicar os limites de integração após encontrar a antiderivada. Então, vamos usar a fórmula que acabamos de ver e aplicar os limites de e .

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada em cada limite. Primeiro, para ln |sec 5pi4 + tan 5pi4| :
ln |sec 3pi4 + tan 3pi4|
E depois, para :

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores das funções trigonométricas nesses pontos.
Sabemos que:
  • , então
E para :
  • , então

Passo 6

Substituindo esses valores nas expressões que temos:
Para ln | -raiz2 + 1 | = ln |1 - raiz2| = ln (raiz2 - 1) :
ln | -raiz2 + 1 | = ln |1 - raiz2| = ln (raiz2 - 1)
Porque é negativo, e o logaritmo exige o valor positivo, então tiramos o valor absoluto.
Para :
O mesmo raciocínio vale aqui.

Passo 7

Agora, a integral definida é a diferença entre esses valores:
ln (raiz2 - 1) - ln (raiz2 - 1) = 0

Resposta

A integral definida é igual a 0.

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