Encontrar a função tal que:
(e) e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função que satisfaz a seguinte condição:
Além disso, sabemos que . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, então vamos precisar usar algumas técnicas de integração para descobrir qual é a função .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral que está na equação:
Para resolver isso, podemos usar a técnica da integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Mas, de acordo com a equação original, isso é igual a . Então temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar . Primeiramente, rearranjamos os termos:
Para simplificar, vamos supor que a integral de seja representada por , onde . Assim, a equação fica:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a para eliminar a integral:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar :
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então . Assim:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante :
Sabemos que , então:

Resposta

A função que satisfaz as condições dadas é:

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Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e
Encontrar a primitiva para a função dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) e
Calcule as integrais definidas:
(j)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .