Encontrar a função f tal que:
(e) integral x cdot f^prime(x) d x=x ln (x)-x+c e f(e)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função integral x cdot f^prime(x) , dx = x ln(x) - x + c que satisfaz a seguinte condição:
Além disso, sabemos que . Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, então vamos precisar usar algumas técnicas de integração para descobrir qual é a função .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral que está na equação:
integral x cdot f^prime(x) , dx
Para resolver isso, podemos usar a técnica da integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher e . Assim, precisamos encontrar e .

Passo 3

Calculando as derivadas e integrais necessárias:
u = x implies du = dx
dv = f^prime(x) , dx implies v = f(x)
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral x cdot f^prime(x) , dx = x cdot f(x) - integral f(x) , dx
Mas, de acordo com a equação original, isso é igual a x cdot f(x) - integral f(x) , dx = x ln(x) - x + c . Então temos:

Passo 4

Vamos resolver essa equação para encontrar x cdot f(x) = x ln(x) - x + integral f(x) , dx + c . Primeiramente, rearranjamos os termos:
x cdot f(x) = x ln(x) - x + F(x) + c
Para simplificar, vamos supor que a integral de ddx [x cdot f(x)] = ddx [x ln(x) - x + F(x) + c] seja representada por f(x) + x cdot f^prime(x) = ln(x) + 1 - 1 + f(x) , onde x cdot f^prime(x) = ln(x) . Assim, a equação fica:
f^prime(x) = ln(x)x
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a para eliminar a integral:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos integrar f(x) = integral ln(x)x , dx para encontrar f(x) = integral t , dt = t^22 + C = (ln(x))^22 + C :
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então . Assim:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial -1 = (ln(e))^22 + C para encontrar o valor da constante -1 = 12 + C implies C = -32 :
Sabemos que , então:

Resposta

A função f(x) = (ln(x))^22 - 32 que satisfaz as condições dadas é:

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