Encontrar a função
tal que:
(e)
e
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
que satisfaz a seguinte condição:
Além disso, sabemos que
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral e derivadas, então vamos precisar usar algumas técnicas de integração para descobrir qual é a função
.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral que está na equação:
Para resolver isso, podemos usar a técnica da integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Vamos escolher
e
. Assim, precisamos encontrar
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Mas, de acordo com a equação original, isso é igual a
. Então temos:
Passo 4
Vamos resolver essa equação para encontrar
. Primeiramente, rearranjamos os termos:
Para simplificar, vamos supor que a integral de
seja representada por
, onde
. Assim, a equação fica:
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a
para eliminar a integral:
Calculando as derivadas:
Simplificando:
Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, então
. Assim:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A função
que satisfaz as condições dadas é:
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Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) e
(b)
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) e
(d)
Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo
.
(a)