Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f)
e
.
(f)
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar a área da região
que está entre as curvas
e
. Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a integração, pra resolver isso. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.
Passo 2
Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas funções:
Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatoramos:
Resolvendo
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são
e
. Além disso, temos
da fatoração inicial. Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo:
-
Entre
e :
Vamos testar: Então,. -
Entre
e :
Vamos testar: Então,.
Passo 4
A área entre duas curvas é calculada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, nos limites de integração. Então, teremos duas partes:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de .
Passo 5
Vamos calcular as integrais separadamente:
- Área de
a :
- Área de
a :
Passo 6
Vamos calcular cada integral:
- Primeira integral:
Avaliada de
a
:
- Segunda integral:
Avaliada de
a
:
Passo 7
Agora, somamos as duas áreas:
Resposta
A área da região
limitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo
.
(a)
Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e
.
(k)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e
.
§