Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e .

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Vamos usar o conteúdo de cálculo, especificamente a integração, pra resolver isso. Primeiro, precisamos descobrir onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção igualando as duas funções:
Vamos reorganizar a equação:
Agora, fatoramos:
Resolvendo usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e . Além disso, temos da fatoração inicial. Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se encontram, vamos determinar qual função está acima da outra em cada intervalo:
  • Entre e :
    Vamos testar :
    Então, .
  • Entre e :
    Vamos testar :
    Então, .

Passo 4

A área entre duas curvas é calculada pela integral da diferença entre a função de cima e a de baixo, nos limites de integração. Então, teremos duas partes:
  1. De a , está acima de .
  2. De a , está acima de .

Passo 5

Vamos calcular as integrais separadamente:
  1. Área de a :
  1. Área de a :

Passo 6

Vamos calcular cada integral:
  1. Primeira integral:
Avaliada de a :
  1. Segunda integral:
Avaliada de a :

Passo 7

Agora, somamos as duas áreas:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .
Calcule as integrais definidas:
(j)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
§ e .