Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a) e o eixo .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região no plano, que é limitada pelas seguintes curvas: a função , a reta vertical e o eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular a área entre essas curvas.

Passo 2

Vamos desenhar um esboço das curvas para visualizar melhor a região . A função está definida para e passa pelo ponto porque . A reta é uma linha vertical que corta o eixo no ponto . O eixo é simplesmente a linha .

Passo 3

Identificamos os limites de integração. A região está entre (onde cruza o eixo ) e . Esses serão os limites inferiores e superiores da nossa integral.

Passo 4

Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui, é a função acima da outra no intervalo considerado, e é a função debaixo. No nosso caso, e (o eixo ).

Passo 5

Aplicando os valores na fórmula, temos:

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral de . Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:

Passo 7

Aplicando os limites de integração de 1 a 2 na expressão encontrada:
Sabemos que , então simplificamos:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais definidas:
(j)
Encontrar a função tal que:
(e) e
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e .
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e .