Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(a)
e o eixo
.
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar a área da região
no plano, que é limitada pelas seguintes curvas: a função
, a reta vertical
e o eixo
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral para calcular a área entre essas curvas.
Passo 2
Vamos desenhar um esboço das curvas para visualizar melhor a região
. A função
está definida para
e passa pelo ponto
porque
. A reta
é uma linha vertical que corta o eixo
no ponto
. O eixo
é simplesmente a linha
.
Passo 3
Identificamos os limites de integração. A região
está entre
(onde
cruza o eixo
) e
. Esses serão os limites inferiores e superiores da nossa integral.
Passo 4
Para calcular a área entre duas curvas, usamos a seguinte fórmula de integração:
Aqui,
é a função acima da outra no intervalo considerado, e
é a função debaixo. No nosso caso,
e
(o eixo
).
Passo 5
Aplicando os valores na fórmula, temos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral de
. Para isso, usamos a técnica de integração por partes, onde:
Passo 7
Aplicando os limites de integração de 1 a 2 na expressão encontrada:
Sabemos que
, então simplificamos:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)
Encontrar a função
tal que:
(e) e
(e)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(f) e
.
(f)
Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(k) e
.
(k)