Encontrar a primitiva F para a função f dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b) f(x) = x^2 / (9 + x^6) e F(raiz(3)) = pi / 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma primitiva para a função . Isso significa que queremos uma função cuja derivada seja . Além disso, sabemos que . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente substituição e reconhecer formas conhecidas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão . Observe que pode ser escrito como . Assim, temos:
Isso nos lembra da forma , cuja integral envolve a função arco-tangente.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja . Então, a derivada de em relação a é:
Agora, substituímos na integral:

Passo 4

A integral é uma forma padrão que resulta em , onde é a constante de integração. No nosso caso, , então . Aplicando isso:

Passo 5

Lembrando que fizemos a substituição , vamos retornar para a variável original:
Então, uma primitiva de é .

Passo 6

Agora, vamos usar a condição dada para encontrar o valor de .
Substituindo na expressão de :
Simplificando :
Sabemos que , então:
Subtraindo de ambos os lados:

Resposta

A primitiva que satisfaz as condições dadas é:

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