Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(b)
e
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar uma primitiva
para a função
. Isso significa que queremos uma função
cuja derivada seja
. Além disso, sabemos que
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração, especificamente substituição e reconhecer formas conhecidas de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Observe que
pode ser escrito como
. Assim, temos:
Isso nos lembra da forma
, cuja integral envolve a função arco-tangente.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, substituímos na integral:
Passo 4
A integral
é uma forma padrão que resulta em
, onde
é a constante de integração. No nosso caso,
, então
. Aplicando isso:
Passo 5
Lembrando que fizemos a substituição
, vamos retornar para a variável original:
Então, uma primitiva de
é
.
Passo 6
Agora, vamos usar a condição dada
para encontrar o valor de
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando
:
Sabemos que
, então:
Subtraindo
de ambos os lados:
Resposta
A primitiva
que satisfaz as condições dadas é:
Exercícios relacionados
Encontrar a primitiva
para a função
dada a seguir, satisfazendo a condição dada:
(d) e
(d)
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de integração por frações parciais:
(t)
(t)
Encontrar a função
tal que:
(e) e
(e)
Calcule as integrais definidas:
(j)
(j)