Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo para cada uma das funções a seguir:
dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e aprender como identificar o período e a imagem dessa função.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre período. O período de uma função é o intervalo menor no qual a função completa um ciclo completo e começa a se repetir. Para funções trigonométricas básicas como o cosseno, a forma geral é
, onde
afeta o período da função.
Passo 3
A fórmula para encontrar o período
de
é:
No nosso caso, a função é
. Aqui, o coeficiente
é 1. Vamos aplicar a fórmula:
Então, o período da função é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função cosseno básica,
, tem uma imagem entre -1 e 1:
Nossa função é
. Vamos somar 1 a todas as partes da desigualdade:
Portanto, a imagem da função
é o intervalo de 0 a 2.
Passo 5
Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função
. Sabemos que o período é
, então vamos desenhar o gráfico de
até
.
- Ponto máximo: Quando
, então . - Ponto mínimo: Quando
, então . - Ponto médio: Quando
, então .
O gráfico será uma curva de cosseno que está deslocada 1 unidade para cima no eixo y, variando entre 0 e 2, completando um ciclo completo de
a
.
Resposta
O período da função
é
, a imagem é o intervalo
, e o gráfico de um período completo é uma curva de cosseno deslocada 1 unidade para cima, variando de 0 a 2 no eixo y e completando um ciclo de
a
.
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(k)
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, onde
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, dada por
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva e o eixo dos
no intervalo de 0 a
.
(b) Calcule a área compreendida entre a curva