Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo para cada uma das funções a seguir:
f: R -> R dada por f(x) = 1 + cos(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o período, a imagem e fazer o gráfico de um período completo da função . Para isso, vamos precisar entender conceitos de funções trigonométricas, especificamente o cosseno, e aprender como identificar o período e a imagem dessa função.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre período. O período de uma função é o intervalo menor no qual a função completa um ciclo completo e começa a se repetir. Para funções trigonométricas básicas como o cosseno, a forma geral é , onde afeta o período da função.

Passo 3

A fórmula para encontrar o período de é:
No nosso caso, a função é . Aqui, o coeficiente é 1. Vamos aplicar a fórmula:
Então, o período da função é .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. A função cosseno básica, , tem uma imagem entre -1 e 1:
Nossa função é . Vamos somar 1 a todas as partes da desigualdade:
Portanto, a imagem da função é o intervalo de 0 a 2.

Passo 5

Por fim, vamos fazer o gráfico de um período completo da função . Sabemos que o período é , então vamos desenhar o gráfico de até .
  1. Ponto máximo: Quando , então .
  2. Ponto mínimo: Quando , então .
  3. Ponto médio: Quando , então .
O gráfico será uma curva de cosseno que está deslocada 1 unidade para cima no eixo y, variando entre 0 e 2, completando um ciclo completo de a .

Resposta

O período da função é , a imagem é o intervalo , e o gráfico de um período completo é uma curva de cosseno deslocada 1 unidade para cima, variando de 0 a 2 no eixo y e completando um ciclo de a .

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