Calcule integral duplaD e^(x+y) /(x-y)(x-y)^2 d x d y, onde
D=(x, y) in R^2 mid 1 <=(x-y)^2+(x+y)^2 <= 4, y <= 0 e x+y >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região específica . O enunciado envolve funções exponenciais e uma condição complicada para a região de integração. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente troca de variáveis e cálculo de determinantes jacobianos para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a região D = (x, y) in R^2 mid 1 <= (x - y)^2 + (x + y)^2 <= 4, , y <= 0 e x + y >= 0 descrita por:
Perceba que e aparecem tanto na condição da região quanto no integrando. Isso sugere que podemos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos definir novas variáveis:
u = x + y e v = x - y
Essa substituição é útil porque ela vai simplificar tanto o integrando quanto a região de integração.

Passo 4

Com as novas variáveis, precisamos expressar x = u + v2 e y = u - v2 e em termos de e . Resolvendo as equações:
Isso é importante para substituir e na integral original.

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v = 12 & 12 12 & -12 = (12 times -12) - (12 times 12) = -14 - 14 = -12
O valor absoluto do jacobiano é , que usaremos na mudança de variáveis.

Passo 6

Vamos reescrever a integral original usando integral duplaD e^(x+y)/(x-y)(x-y)^2 , dx , dy = integral duplaD' e^u/vv^2 times | J | , du , dv = integral duplaD' e^u/vv^2 times 12 , du , dv e :
Aqui, é a nova região na coordenada e .

Passo 7

Vamos determinar a nova região 1 <= v^2 + u^2 <= 4 após a mudança de variáveis. A condição u - v2 <= 0 Rightarrow u <= v se torna:
u >= 0
Isso descreve um anel (entre dois círculos) no plano . Além disso, as condições e transformam-se em:
e
Portanto, é a parte do anel onde .

Passo 8

Agora, vamos expressar a integral em coordenadas polares para u = r cos theta e v = r sin theta e integral duplaD' e^(r cos theta)/(r sin theta)(r sin theta)^2 times 12 times r , dr , dtheta = 12 integralr=1^2 integraltheta=0^pi/4 e^cot thetar sin^2 theta , dtheta , dr , já que a região é circularmente simétrica. Definimos:
O jacobiano dessa transformação é , então a integral fica:
Aqui, os limites para vão de 1 a 2 e para de 0 a , devido às condições e .

Passo 9

Simplificamos a integral em 12 integral1^2 ( integral0^pi/4 e^cot thetar sin^2 theta , dtheta ) dr = 12 ( integral1^2 1r , dr ) ( integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta ) e :
A integral em é de 1 a 2, resultando em .

Passo 10

Calculamos a integral em integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta :
integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta = -integralinfty^1 e^t , dt = integral1^infty e^t , dt = e^t gr|1^infty
Fazendo a substituição , temos . Assim:
No entanto, tende ao infinito quando vai a infinito, o que sugere que a integral diverge. Mas isso não faz sentido no contexto do problema original, indicando que talvez houve um erro na substituição ou nos limites.

Passo 11

Revisando o passo anterior, percebemos que a substituição deveria considerar o comportamento de integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta = integralinfty^1 e^t cdot (-dt) = integral1^infty e^t , dt quando varia de 0 a :
  • Quando , que é infinito.
  • Quando ,
Portanto, a integral correta fica:
Realmente, essa integral diverge, o que sugere que a integral original não converge.

Passo 12

Concluímos que a integral dada não converge, ou seja, não há um valor finito para ela dentro das condições fornecidas.

Resposta

A integral não converge.

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