Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui a gente precisa calcular uma integral dupla sobre uma região específica . O enunciado envolve funções exponenciais e uma condição complicada para a região de integração. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo multivariável, especificamente troca de variáveis e cálculo de determinantes jacobianos para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a região descrita por:
Perceba que e aparecem tanto na condição da região quanto no integrando. Isso sugere que podemos fazer uma mudança de variáveis para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos definir novas variáveis:
Essa substituição é útil porque ela vai simplificar tanto o integrando quanto a região de integração.
Passo 4
Com as novas variáveis, precisamos expressar e em termos de e . Resolvendo as equações:
Isso é importante para substituir e na integral original.
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante jacobiano dessa mudança de variáveis. O jacobiano é dado por:
O valor absoluto do jacobiano é , que usaremos na mudança de variáveis.
Passo 6
Vamos reescrever a integral original usando integral duplaD e^(x+y)/(x-y)(x-y)^2 , dx , dy = integral duplaD' e^u/vv^2 times | J | , du , dv = integral duplaD' e^u/vv^2 times 12 , du , dv e :
Aqui, é a nova região na coordenada e .
Passo 7
Vamos determinar a nova região 1 <= v^2 + u^2 <= 4 após a mudança de variáveis. A condição u - v2 <= 0 Rightarrow u <= v se torna:
u >= 0
Isso descreve um anel (entre dois círculos) no plano . Além disso, as condições e transformam-se em:
e
Portanto, é a parte do anel onde .
Passo 8
Agora, vamos expressar a integral em coordenadas polares para u = r cos theta e v = r sin theta e integral duplaD' e^(r cos theta)/(r sin theta)(r sin theta)^2 times 12 times r , dr , dtheta = 12 integralr=1^2 integraltheta=0^pi/4 e^cot thetar sin^2 theta , dtheta , dr , já que a região é circularmente simétrica. Definimos:
O jacobiano dessa transformação é , então a integral fica:
Aqui, os limites para vão de 1 a 2 e para de 0 a , devido às condições e .
Passo 9
Simplificamos a integral em 12 integral1^2 ( integral0^pi/4 e^cot thetar sin^2 theta , dtheta ) dr = 12 ( integral1^2 1r , dr ) ( integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta ) e :
A integral em é de 1 a 2, resultando em .
Passo 10
Calculamos a integral em integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta :
No entanto, tende ao infinito quando vai a infinito, o que sugere que a integral diverge. Mas isso não faz sentido no contexto do problema original, indicando que talvez houve um erro na substituição ou nos limites.
Passo 11
Revisando o passo anterior, percebemos que a substituição deveria considerar o comportamento de integral0^pi/4 e^cot theta csc^2 theta , dtheta = integralinfty^1 e^t cdot (-dt) = integral1^infty e^t , dt quando varia de 0 a :
Quando , que é infinito.
Quando ,
Portanto, a integral correta fica:
Realmente, essa integral diverge, o que sugere que a integral original não converge.
Passo 12
Concluímos que a integral dada não converge, ou seja, não há um valor finito para ela dentro das condições fornecidas.