Calcule as integrais definidas:
(k) integral4^9 x-3raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral definida:
integral4^9 x - 3raizx , dx
Isso está na área de Cálculo Integral, especificamente lidando com integrais definidas e simplificação de funções para facilitar a integração. Para resolver isso, vamos precisar simplificar a expressão dentro da integral e então aplicar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração xraizx - 3raizx . Podemos separar a fração em duas partes:
xraizx = raizx (porque x = raizx cdot raizx )
Agora, simplificando cada termo:
3raizx = 3x^-1/2
integral4^9 ( raizx - 3x^-1/2 ) , dx
Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Lembra que a integral de integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23x^3/2 é integral 3x^-1/2 , dx = 3 cdot x^1/21/2 = 6x^1/2 (onde 23x^3/2 - 6x^1/2 ).
Para , que é :
Para :
Então, a antiderivada da nossa função é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar essa antiderivada nos limites de 4 a 9. Isso significa que vamos calcular:
[ 23x^3/2 - 6x^1/2 ]4^9 = ( 23(9)^3/2 - 6(9)^1/2 ) - ( 23(4)^3/2 - 6(4)^1/2 )
Vamos calcular cada parte:
Para 9^1/2 = 3 e 9^3/2 = 27 :
23 times 27 = 18 e 6 times 3 = 18
18 - 18 = 0
4^1/2 = 2 e 4^3/2 = 8
Para 23 times 8 = 163 e 6 times 2 = 12 :
163 - 12 = 163 - 363 = -203
0 - ( -203 ) = 203
Então, subtraindo:

Resposta

A integral definida vale .

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