Calcule as integrais:
(t) integral x^2 e^-4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com integração por partes, que é uma técnica usada quando temos o produto de duas funções, como nesse caso de um polinômio e uma função exponencial . Para resolver, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes múltiplas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, escolhemos:
  • du = 2x , dx (porque derivar reduz o grau do polinômio)
  • v = integral e^-4x , dx = -14 e^-4x
Agora, calculamos integral x^2 e^-4x , dx = u , v - integral v , du = x^2 (-14 e^-4x) - integral (-14 e^-4x) (2x) , dx e = -14 x^2 e^-4x + 12 integral x e^-4x , dx :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a nova integral du = dx . Vamos aplicar novamente a integração por partes.
Escolhemos:
  • v = integral e^-4x , dx = -14 e^-4x
  • integral x e^-4x , dx = u , v - integral v , du = x (-14 e^-4x) - integral (-14 e^-4x) , dx
Calculando = -14 x e^-4x + 14 integral e^-4x , dx e = -14 x e^-4x - 116 e^-4x :
Aplicando a fórmula:
Simplificando:

Passo 4

Voltando à expressão anterior onde tínhamos:
integral x^2 e^-4x , dx = -14 x^2 e^-4x + 12 ( -14 x e^-4x - 116 e^-4x )
Distribuindo o = -14 x^2 e^-4x - 18 x e^-4x - 132 e^-4x :
= ( -14 x^2 - 18 x - 132 ) e^-4x + C
Podemos fatorar :

Resposta

A integral de integral x^2 e^-4x , dx = ( -14 x^2 - 18 x - 132 ) e^-4x + C é:

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(k) integral4^9 x-3raizx d x