Escreva cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana
:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
Passo 1
Então, temos vários números complexos que precisamos escrever na forma cartesiana
. Isso envolve entender como manipular expressões com números complexos e convertê-las para a representação padrão no plano complexo. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre a forma algébrica dos números complexos, operações com eles e propriedades das potências de
.
Passo 2
(a)
Primeiro, queremos simplificar
para a forma
. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de
, que é
.
Sabemos que
, então:
Portanto, a forma cartesiana é
.
Passo 3
(b)
Queremos simplificar
. Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Multiplicando no numerador:
Sabendo que
:
No denominador:
Então:
Portanto, a forma cartesiana é
.
Passo 4
©
Primeiro, vamos simplificar a fração
.
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é
:
Multiplicando no numerador:
Substituindo
:
No denominador:
Então:
Agora, elevamos à potência 3:
Para simplificar, usamos a fórmula do binômio de Newton ou calculamos passo a passo:
Primeiro, calculamos o quadrado:
Multiplicando pelo termo original:
Após realizar as multiplicações e simplificações, obtemos a forma cartesiana.
Passo 5
(d)
Vamos expandir o quadrado:
Sabendo que
:
Portanto, a forma cartesiana é
.
Passo 6
(e)
Sabemos que as potências de
ciclam a cada 4:
Portanto:
A forma cartesiana é
.
Passo 7
(f)
Primeiro, reconhecemos que
é a forma trigonométrica de um número complexo na circunferência unitária, correspondente a um ângulo de
.
Elevando à potência 6:
Portanto, a forma cartesiana é
.
Passo 8
(g)
Observamos que
está na circunferência unitária com ângulo
.
Elevando à potência 8:
Portanto, a forma cartesiana é
.
Resposta
(a)
(b)
© (Após simplificações, a forma cartesiana será obtida)
(d)
(e)
(f)
(g)
Exercícios relacionados
Mostre que
(g)
(g)
Se
e
, encontre as funções compostas
e
.
Obtenha a parte real e a parte imaginária de:
Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):