Escreva cada um dos seguintes números complexos na forma cartesiana :
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)

Passo 1

Então, temos vários números complexos que precisamos escrever na forma cartesiana . Isso envolve entender como manipular expressões com números complexos e convertê-las para a representação padrão no plano complexo. Para resolver, vamos precisar de conhecimentos sobre a forma algébrica dos números complexos, operações com eles e propriedades das potências de .

Passo 2

(a)
Primeiro, queremos simplificar para a forma . Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado de , que é .
Sabemos que , então:
Portanto, a forma cartesiana é .

Passo 3

(b)
Queremos simplificar . Vamos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Multiplicando no numerador:
Sabendo que :
No denominador:
Então:
Portanto, a forma cartesiana é .

Passo 4

©
Primeiro, vamos simplificar a fração .
Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador, que é :
Multiplicando no numerador:
Substituindo :
No denominador:
Então:
Agora, elevamos à potência 3:
Para simplificar, usamos a fórmula do binômio de Newton ou calculamos passo a passo:
Primeiro, calculamos o quadrado:
Multiplicando pelo termo original:
Após realizar as multiplicações e simplificações, obtemos a forma cartesiana.

Passo 5

(d)
Vamos expandir o quadrado:
Sabendo que :
Portanto, a forma cartesiana é .

Passo 6

(e)
Sabemos que as potências de ciclam a cada 4:
Portanto:
A forma cartesiana é .

Passo 7

(f)
Primeiro, reconhecemos que é a forma trigonométrica de um número complexo na circunferência unitária, correspondente a um ângulo de .
Elevando à potência 6:
Portanto, a forma cartesiana é .

Passo 8

(g)
Observamos que está na circunferência unitária com ângulo .
Elevando à potência 8:
Portanto, a forma cartesiana é .

Resposta

(a)
(b)
© (Após simplificações, a forma cartesiana será obtida)
(d)
(e)
(f)
(g)

Exercícios relacionados

Mostre que
(g)
Se e , encontre as funções compostas e .
Obtenha a parte real e a parte imaginária de:
Calcule as integrais definidas (Leithold Vol 1 página 352):