Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(i) e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre duas curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se cruzam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, a gente iguala as duas equações:
Simplificando a equação:
Agora, fatoramos:
Isso nos dá duas soluções: e . Então, as curvas se cruzam nos pontos e .
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos identificar qual das duas funções está por cima e qual está por baixo nesse intervalo de a . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo para testar, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a função está acima de nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a integral definida que representa a diferença entre as funções de cima e de baixo: