Determine a área da região
do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(i)
e
.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região
que está entre as curvas
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre duas curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se cruzam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, a gente iguala as duas equações:
Simplificando a equação:
Agora, fatoramos:
Isso nos dá duas soluções:
e
. Então, as curvas se cruzam nos pontos
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos identificar qual das duas funções está por cima e qual está por baixo nesse intervalo de
a
. Vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo para testar, por exemplo,
:
Para
:
Para
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a integral definida que representa a diferença entre as funções de cima e de baixo:
Onde
e
, e
e
. Então:
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de
a
:
Convertendo
para ter o mesmo denominador:
Então:
Resposta
A área da região
é
unidades quadradas.