Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(i) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente integrais, para calcular a área entre duas curvas. Vamos precisar descobrir onde essas curvas se cruzam e depois calcular a integral que representa a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, a gente iguala as duas equações:
Simplificando a equação:
Agora, fatoramos:
Isso nos dá duas soluções: e . Então, as curvas se cruzam nos pontos e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos identificar qual das duas funções está por cima e qual está por baixo nesse intervalo de a . Vamos escolher um valor de dentro desse intervalo para testar, por exemplo, :
Para :
Para :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área entre as curvas usando a integral definida que representa a diferença entre as funções de cima e de baixo:
Á
Onde e , e e . Então:
Á
Vamos calcular essa integral:
Agora, aplicamos os limites de a :
Convertendo para ter o mesmo denominador:
Então:

Resposta

A área da região é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
© e .
Calcule as integrais definidas:
(n)
Determine a área da região do plano limitado simultaneamente pelas curvas:
(o) e .
Calcule as integrais indefinidas, utilizando a técnica de substituição:
(e)