E sboce o gráfico da função
e determine a equação da reta tangente no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa desenhar o gráfico da função
e achar a equação da reta tangente nesse gráfico no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função é conhecida como uma hipérbole e tem duas partes: uma no primeiro quadrante (onde
e
) e outra no terceiro quadrante (onde
e
). O gráfico nunca toca os eixos, pois para
, a função não está definida.
Passo 3
Agora, para achar a reta tangente no ponto
, primeiro precisamos encontrar a inclinação dessa reta. Isso significa que precisamos calcular a derivada da função
em
. A derivada nos dá a taxa de variação da função naquele ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usando as regras de derivação, temos:
Então, a derivada de
é
.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a derivada em
para encontrar a inclinação da reta tangente no ponto
:
Portanto, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e passando pelo ponto
, podemos usar a fórmula da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Vamos simplificar a equação para ficar mais clara:
Resposta
A equação da reta tangente à função
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Determine a equação da reta tangente à função
, no ponto
.
Um objeto se move ao longo de uma reta de acordo com a lei
, onde
é a distância em metros e
é o tempo em segundos. Determine a velocidade instantânea no instante
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
, no ponto
.
Calcule as integrais definidas:
§
§