Calcule as integrais definidas:
(q) integral-2^-1(x-1x)^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral-2^-1(x-1x)^2 dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente das integrais definidas. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão dentro da integral e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o quadrado da expressão (x - 1x)^2. Isso nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 3

Expandindo o quadrado:
(x - 1x)^2 = x^2 - 2 cdot x cdot 1x + (1x)^2 = x^2 - 2 + 1x^2

Passo 4

Agora, substituímos a expressão expandida na integral:
integral-2^-1 (x^2 - 2 + 1x^2) dx
Podemos separar essa integral em três integrais distintas:
integral-2^-1 x^2 dx - 2 integral-2^-1 dx + integral-2^-1 1x^2 dx

Passo 5

Vamos calcular cada integral individualmente:
  1. Integral de x^2:
    integral x^2 dx = x^33 + C
  2. Integral de -2:
    -2 integral dx = -2x + C
  3. Integral de 1x^2:
    integral 1x^2 dx = -1x + C

Passo 6

Agora, juntamos os resultados das integrais e aplicamos os limites de integração de -2 a -1:
[x^33 - 2x - 1x]-2^-1
Calculando para x = -1:
(-1)^33 - 2(-1) - 1-1 = -13 + 2 + 1 = 83
Calculando para x = -2:
(-2)^33 - 2(-2) - 1-2 = -83 + 4 + 12 = 116
Subtraindo os dois resultados:
83 - 116 = 166 - 116 = 56

Resposta

O valor da integral definida é 56.

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