Calcule as integrais definidas:
(v) integral0^4 xraizx^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida . Essa integral faz parte do conteúdo de Cálculo, especificamente sobre métodos de integração. Para resolver, a gente vai precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral. Observe que temos u = x^2 + 9 na raiz. Vamos deixar:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Agora, derivamos x , dx = du2 em relação a para encontrar :
Para facilitar, queremos isolar :

Passo 3

Substituindo integral xraizx^2+9 , dx = integral 1raizu cdot du2 = 12 integral u^-1/2 , du e na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos integrar 12 integral u^-1/2 , du = 12 cdot ( u^1/21/2 ) + C = u^1/2 + C . A antiderivada de é , então:

Passo 5

Voltando para a variável original u^1/2 = raizx^2 + 9 , substituímos raizx^2 + 9 + C de volta:
Portanto, a antiderivada é:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ raiz4^2 + 9 ] - [ raiz0^2 + 9 ] = raiz16 + 9 - raiz9 = raiz25 - 3 = 5 - 3 = 2

Resposta

O valor da integral é 2.

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