Calcule as integrais definidas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções que envolvem raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de potências e aproveitar propriedades de simetria de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Sabemos que é o mesmo que e é . Assim, podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais, então podemos dividir a integral em duas partes:

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo . A regra básica para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo . Primeiro, aplicamos a mesma regra de potências:
Multiplicando por 4:

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
Para encontrar o valor da integral definida de a , vamos substituir os limites na expressão acima.

Passo 7

Substituindo :
Substituindo :
Aqui, precisamos lembrar que . Portanto:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:

Resposta

A integral definida é igual a .

Exercícios relacionados

Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
Calcule as integrais definidas a seguir:
Calcule as integrais definidas a seguir: