Calcule as integrais definidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções que envolvem raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de potências e aproveitar propriedades de simetria de funções pares e ímpares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Sabemos que
é o mesmo que
e
é
. Assim, podemos reescrever a integral da seguinte maneira:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais, então podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos integrar o primeiro termo
. A regra básica para integrar potências de
é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar o segundo termo
. Primeiro, aplicamos a mesma regra de potências:
Multiplicando por 4:
Passo 6
Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
Para encontrar o valor da integral definida de
a
, vamos substituir os limites na expressão acima.
Passo 7
Substituindo
:
Substituindo
:
Aqui, precisamos lembrar que
. Portanto:
Então:
Passo 8
Agora, vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
Resposta
A integral definida
é igual a
.
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Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
Calcule as integrais definidas a seguir:
Calcule as integrais definidas a seguir: