Calcule as integrais definidas a seguir:
integral-1^1(raiz[3]x^4+4 raiz[3]x) cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais de funções que envolvem raízes cúbicas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções de potências e aproveitar propriedades de simetria de funções pares e ímpares.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Sabemos que integral-1^1 ( x^4/3 + 4x^1/3 ) , dx é o mesmo que e é . Assim, podemos reescrever a integral da seguinte maneira:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada termo separadamente. A integral de uma soma é igual à soma das integrais, então podemos dividir a integral em duas partes:
integral-1^1 x^4/3 , dx + 4 integral-1^1 x^1/3 , dx

Passo 4

Vamos integrar o primeiro termo integral x^4/3 , dx = x^7/37/3 + C = 37 x^7/3 + C . A regra básica para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:

Passo 5

Agora, vamos integrar o segundo termo integral x^1/3 , dx = x^4/34/3 + C = 34 x^4/3 + C . Primeiro, aplicamos a mesma regra de potências:
4 times 34 x^4/3 = 3x^4/3
Multiplicando por 4:

Passo 6

Agora, juntamos as duas integrais que calculamos:
37 x^7/3 + 3x^4/3
Para encontrar o valor da integral definida de a , vamos substituir os limites na expressão acima.

Passo 7

Substituindo 37 (1)^7/3 + 3(1)^4/3 = 37 + 3 = 37 + 217 = 247 :
37 (-1)^7/3 + 3(-1)^4/3
Substituindo (-1)^7/3 = [(-1)^1/3]^7 = (-1)^7 = -1 :
(-1)^4/3 = [(-1)^1/3]^4 = (-1)^4 = 1
Aqui, precisamos lembrar que 37 (-1) + 3(1) = -37 + 3 = -37 + 217 = 187 . Portanto:
Então:

Passo 8

Agora, vamos calcular a diferença entre os valores nos limites:
( 247 ) - ( 187 ) = 67

Resposta

A integral definida é igual a .

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