Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
integral x^2[sen(2 x^3)+4 x] d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para resolver a integral:
integral x^2[sin(2 x^3)+4 x] , dx
Aqui, estamos lidando com integração, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada mudança de variável ou substituição. Vamos precisar identificar uma parte da função que, quando substituída, simplifica a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral x^2 sin(2 x^3) , dx + integral x^2 cdot 4x , dx
Isso nos dá duas integrais mais simples para resolver separadamente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral:
integral x^2 sin(2 x^3) , dx
Aqui, usamos a substituição. Vamos chamar dudx = 6x^2 Rightarrow du = 6x^2 , dx Rightarrow x^2 , dx = du6 . Então, derivando integral sin(u) cdot du6 = 16 integral sin(u) , du em relação a 16 ( -cos(u) ) + C = -16 cos(u) + C :
-16 cos(2x^3) + C
Agora, substituímos na integral:
Conhecendo a integral de , que é :
Substituindo de volta:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral x^2 cdot 4x , dx = integral 4x^3 , dx
Aqui, simplificamos multiplicando integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C por integral 4x^3 , dx = 4 cdot x^44 + C = x^4 + C , resultando em . A integral de é:
Aplicando isso:

Resposta

Juntando as duas partes que resolvemos:
-16 cos(2x^3) + x^4 + C
Onde é a constante de integração.

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