Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
integral(x^3+5)^5 cdot 3 x^2 cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem pra resolver a integral . Isso aqui é um exercício de cálculo de integrais usando o método da substituição. Basicamente, a gente vai simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma variável mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olha só, dentro da integral, a parte complicada é . Então, vamos deixar . Isso vai facilitar porque a gente pode transformar a integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de dudx = 3x^2 em relação a para substituir o . Fazendo isso:
Então, podemos escrever . Viu só? O que está na integral original aparece aqui, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral usando integral(x^3+5)^5 cdot 3 x^2 cdot dx = integral u^5 cdot du e . Na nossa integral original, temos:
Agora, a integral está bem mais simples!

Passo 5

Vamos integrar integral u^n du = u^n+1n+1 + C em relação a integral u^5 du = u^66 + C . A regra básica da integração que estamos usando aqui é a seguinte:
onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original u^66 + C = (x^3 + 5)^66 + C substituindo por :

Resposta

A integral é igual a .

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