Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:

Passo 1

Beleza, vamos nessa! A gente tem pra resolver a integral . Isso aqui é um exercício de cálculo de integrais usando o método da substituição. Basicamente, a gente vai simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma variável mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olha só, dentro da integral, a parte complicada é . Então, vamos deixar . Isso vai facilitar porque a gente pode transformar a integral em termos de .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a para substituir o . Fazendo isso:
Então, podemos escrever . Viu só? O que está na integral original aparece aqui, o que é ótimo para a substituição.

Passo 4

Vamos reescrever a integral usando e . Na nossa integral original, temos:
Agora, a integral está bem mais simples!

Passo 5

Vamos integrar em relação a . A regra básica da integração que estamos usando aqui é a seguinte:
onde é a constante de integração. Aplicando isso:

Passo 6

Agora, vamos voltar para a variável original substituindo por :

Resposta

A integral é igual a .

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Utilize uma mudança de variável conveniente para resolver as integrais abaixo:
Calcule as integrais definidas a seguir: