Calcule as integrais definidas a seguir:
integral0^2 3 cdot e^-x cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida aqui: . O que estamos fazendo é calcular a área sob a curva da função entre os pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais definidas, que nos ajudam a encontrar áreas e acumulações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral definida. Essencialmente, ela nos dá a soma contínua de infinitos retângulos infinitamente pequenos sob a curva da função no intervalo dado. A fórmula geral para uma integral definida é:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
Aqui, é a antiderivada de , ou seja, uma função cuja derivada é .

Passo 3

No nosso caso, a função F(x) = -3e^-x é . Precisamos encontrar a antiderivada dessa função. Sabemos que a antiderivada de é , porque ao derivar , voltamos a . Então, multiplicando pelo 3, temos:

Passo 4

Agora que temos a antiderivada, aplicamos os limites de integração, ou seja, substituímos F(2) = -3e^-2 por 2 e por 0 na antiderivada F(0) = -3e^0 = -3 cdot 1 = -3 :

Passo 5

Finalmente, aplicamos a fórmula das integrais definidas:
integral0^2 3e^-x , dx = F(2) - F(0) = (-3e^-2) - (-3) = -3e^-2 + 3

Resposta

integral0^2 3e^-x , dx = 3 (1 - e^-2) approx 3 times (1 - 0,1353) approx 3 times 0,8647 approx 2,5941

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