Calcule as integrais definidas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:

Vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador, uma boa escolha é deixar dentro da raiz o que está lá. Vamos definir:

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a :
Isso implica que:

Passo 3

Substituindo e na integral original, temos:

Aqui, simplificamos a expressão usando a propriedade das potências.

Passo 4

Agora, vamos integrar . A integral de é (desde que ):

Como estamos lidando com uma integral definida, a constante de integração será cancelada na etapa seguinte.

Passo 5

Vamos agora substituir de volta para :

Então, nossa antiderivada é:

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração de 0 a 2:

Calculando os valores:

Então:

Resposta

A integral definida é igual a:

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