Calcule as integrais definidas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador, uma boa escolha é deixar dentro da raiz o que está lá. Vamos definir:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
Isso implica que:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Aqui, simplificamos a expressão usando a propriedade das potências.
Passo 4
Agora, vamos integrar
. A integral de
é
(desde que
):
Como estamos lidando com uma integral definida, a constante de integração
Passo 5
Vamos agora substituir
de volta para
:
Então, nossa antiderivada é:
Passo 6
Finalmente, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração de 0 a 2:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A integral definida é igual a:
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