Calcule as integrais definidas a seguir:
integral0^2 x^4raiz[3]7+x^5 cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral0^2 x^4raiz[3]7+x^5 , dx
Vamos precisar usar o método de substituição, que é uma técnica fundamental em cálculo para simplificar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando o denominador, uma boa escolha é deixar dentro da raiz o que está lá. Vamos definir:
u = 7 + x^5
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a dudx = 5x^4:
x^4 , dx = du5
Isso implica que:

Passo 3

Substituindo integral x^4raiz[3]7+x^5 , dx = integral 1raiz[3]u cdot du5 = 15 integral u^-1/3 , du e na integral original, temos:

Aqui, simplificamos a expressão usando a propriedade das potências.

Passo 4

Agora, vamos integrar 15 integral u^-1/3 , du = 15 cdot u^2/32/3 + C = 310 u^2/3 + C. A integral de é (desde que ):

Como estamos lidando com uma integral definida, a constante de integração será cancelada na etapa seguinte.

Passo 5

Vamos agora substituir 310 u^2/3 = 310 (7 + x^5)^2/3 de volta para 310 (7 + x^5)^2/3:

Então, nossa antiderivada é:

Passo 6

Finalmente, vamos avaliar a antiderivada nos limites de integração de 0 a 2:
[ 310 (7 + x^5)^2/3 ]0^2 = 310 ( (7 + 2^5)^2/3 - (7 + 0^5)^2/3 )
Calculando os valores:
7 + 2^5 = 7 + 32 = 39
7 + 0^5 = 7
Então:
310 ( 39^2/3 - 7^2/3 )

Resposta

A integral definida é igual a:
310 ( 39^2/3 - 7^2/3 )

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