Calcule as integrais definidas a seguir:
integral1^16 1raizx cdot d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral1^16 1raizx cdot d x. Aqui, trabalharemos com Cálculo Integral, especificamente integrais de funções do tipo potência. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções com raízes e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função 1raizx de uma forma que seja mais fácil de integrar. Sabemos que raizx é igual a x^1/2, então:
1raizx = x^-1/2

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral1^16 x^-1/2 , dx
Para integrar essa expressão, usamos a regra de integração para potências, que diz que:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n neq -1.

Passo 4

Aplicando essa regra com n = -1/2:
integral x^-1/2 , dx = x^-1/2 + 1-1/2 + 1 + C = x^1/21/2 + C = 2x^1/2 + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 16 usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral1^16 x^-1/2 , dx = 2x^1/2 |1^16 = 2raiz16 - 2raiz1 = 2 times 4 - 2 times 1 = 8 - 2 = 6

Resposta

A integral definida integral1^16 1raizx cdot d x é igual a 6.

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