(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar o método de integração e resolver a integral
. Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é perfeito para integrais que têm a forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões como
, podemos usar
. No nosso caso,
, então vamos definir:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também mudar o diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que
, então:
Também, usando a identidade
, temos:
E de
, sabemos que
.
Então:
Resposta
Substituindo tudo de volta na expressão, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
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Calcule as integrais definidas a seguir:
Sabendo que
e
, calcule o valore de x tal que:
Calcule a equação:
Calcule as integrais definidas a seguir: