(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:
integral raiz4-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar o método de integração e resolver a integral . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é perfeito para integrais que têm a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões como x = 2 sintheta , podemos usar . No nosso caso, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também mudar o diferencial dx = 2 costheta , dtheta . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos integral raiz4 - x^2 , dx = integral raiz4 - (2 sintheta)^2 cdot 2 costheta , dtheta e raiz4 - 4 sin^2theta = raiz4(1 - sin^2theta) = raiz4 cos^2theta = 2 costheta na integral original:
integral 2 costheta cdot 2 costheta , dtheta = 4 integral cos^2theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
Então a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar cos^2theta = 1 + cos(2theta)2 . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
4 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 2 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:
2 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta ) = 2 ( theta + sin(2theta)2 ) + C = 2theta + sin(2theta) + C

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original sintheta = x2 Rightarrow theta = arcsin(x2) . Lembrando que sin(2theta) = 2 cdot x2 cdot costheta = x costheta , então:
sin(2theta) = x cdot raiz4 - x^22 = x raiz4 - x^22
Também, usando a identidade , temos:
E de , sabemos que .
Então:

Resposta

Substituindo tudo de volta na expressão, a solução da integral é:
integral raiz4 - x^2 , dx = 2 arcsin(x2) + x raiz4 - x^22 + C
Onde é a constante de integração.

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