(Miscelânea) Identifique o método de integração e resolva as integrais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para identificar o método de integração e resolver a integral . Estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente, integrais que envolvem funções quadráticas sob uma raiz. Para resolver isso, vamos utilizar o método de substituição trigonométrica, que é perfeito para integrais que têm a forma .

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Sabemos que para expressões como , podemos usar . No nosso caso, , então vamos definir:

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também mudar o diferencial . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então a integral fica:

Passo 5

Agora, precisamos integrar . Para isso, usamos a identidade trigonométrica:
Substituindo na integral:

Passo 6

Integrando termo a termo:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que , então:
Também, usando a identidade , temos:
E de , sabemos que .
Então:

Resposta

Substituindo tudo de volta na expressão, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule as integrais definidas a seguir:
Sabendo que e , calcule o valore de x tal que:
Calcule a equação:
Calcule as integrais definidas a seguir: