Calcule as integrais definidas a seguir:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar funções do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que estamos integrando: . Essa é uma função racional, onde o denominador é uma expressão linear em .

Passo 3

Sabemos que a integral de em relação a é , onde é a constante de integração. No nosso caso, e .

Passo 4

Aplicando essa fórmula à nossa função, temos:

Passo 5

Como estamos calculando uma integral definida de a , vamos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar a antiderivada nos limites de integração e subtrair:

Passo 6

Agora, vamos substituir os limites na antiderivada:

Passo 7

Sabemos que , então a expressão simplifica para:

Resposta

A integral definida é igual a .

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Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: e
Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade.