Verifique se a função é homogênea. Em caso afirmativo, determine o grau de homogeneidade. f(x, y) = (x^3 + 2xy^2) / (x^3 - y^3)

Passo 1

Vamos entender o que a pergunta está pedindo. Temos que verificar se a função é homogênea. Se for, precisamos determinar o grau de homogeneidade dela. Para resolver isso, vamos usar o conceito de funções homogêneas e aplicar a definição passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea. Uma função é chamada de homogênea de grau se, quando multiplicamos cada variável por um número positivo , a função inteira é multiplicada por . Matematicamente, isso fica assim:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função. Substituímos por e por na função :
Vamos simplificar o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
Denominador:
Agora, substituímos de volta na função:
Simplificando :

Resposta

A função é homogênea de grau .

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