Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região no plano que está limitada pelas curvas , , e . Vamos usar conceitos de cálculo integrando essas funções para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região:
e : Essas são linhas horizontais que definem os limites inferior e superior da região.
: Essa é a linha vertical que representa o eixo y, definindo o lado esquerdo da região.
: Essa é uma equação um pouco complicada para expressar em função de , mas vamos reorganizá-la para facilitar.
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para resolver em termos de :
Essa é uma equação quadrática em . Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .
Passo 4
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos lidando com valores reais e práticos para , consideramos apenas a solução positiva:
Essa será a função que define o lado direito da nossa região.
Passo 5
Agora, para encontrar a área limitada pelas curvas, vamos integrar a diferença entre da curva direita e (eixo y) em relação a , entre e :
Passo 6
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada parte:
Primeira Integral:
Segunda Integral:
Para integrar , fazemos a substituição:
Voltando para :
Passo 7
Calculando a segunda integral nos limites de 1 a 3:
Calculando e :
Então:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes da integral:
Á
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 5,96 unidades de área.