Determine a área da região do plano limitada simultaneamente pelas seguintes curvas: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a área da região no plano que está limitada pelas curvas , , e . Vamos usar conceitos de cálculo integrando essas funções para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região:
  1. e : Essas são linhas horizontais que definem os limites inferior e superior da região.
  2. : Essa é a linha vertical que representa o eixo y, definindo o lado esquerdo da região.
  3. : Essa é uma equação um pouco complicada para expressar em função de , mas vamos reorganizá-la para facilitar.

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para resolver em termos de :
Essa é uma equação quadrática em . Para resolver, usamos a fórmula de Bhaskara:
Onde , e .

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Como estamos lidando com valores reais e práticos para , consideramos apenas a solução positiva:
Essa será a função que define o lado direito da nossa região.

Passo 5

Agora, para encontrar a área limitada pelas curvas, vamos integrar a diferença entre da curva direita e (eixo y) em relação a , entre e :
Á
Á

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
Á
Calculando cada parte:
  1. Primeira Integral:
  1. Segunda Integral:
    Para integrar , fazemos a substituição:
Voltando para :

Passo 7

Calculando a segunda integral nos limites de 1 a 3:
Calculando e :
Então:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes da integral:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é aproximadamente 5,96 unidades de área.

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