Calcule as integrais definidas a seguir:
integral2^3(x-7)^5 cdot d x

Passo 1

Vamos calcular a integral definida integral2^3(x-7)^5 cdot d x. Isso está relacionado ao estudo de integrais e antiderivadas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição para simplificar a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, fazemos uma substituição para facilitar a integração. Vamos definir u = x - 7. Então, a derivada de u em relação a x é du/dx = 1, o que significa que du = dx.

Passo 3

Agora, substituímos x - 7 por u na integral e também ajustamos os limites de integração. Quando x = 2, temos u = 2 - 7 = -5. Quando x = 3, u = 3 - 7 = -4. Assim, a integral fica:
integral-5^-4 u^5 cdot du

Passo 4

Vamos calcular a antiderivada de u^5. A antiderivada de u^n é u^n+1n+1, então:
integral u^5 cdot du = u^66

Passo 5

Aplicamos os limites de integração na antiderivada encontrada:
[u^66]-5^-4 = (-4)^66 - (-5)^66
Calculando cada termo:
(-4)^66 = 40966
(-5)^66 = 156256

Resposta

Subtraindo os valores:
40966 - 156256 = -115296
Portanto, o valor da integral é -115296.

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