Calcule as integrais a seguir, usando o método da substituição:
integral x^2 cdot(1-4 x^3)^15 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a gente precisa fazer. A gente tem a integral integral x^2 cdot(1-4 x^3)^15 d x e vamos resolver usando o método da substituição. Esse método ajuda a simplificar a integral transformando uma parte dela em uma nova variável.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma parte da integral para substituir. Olhando bem, vemos que 1 - 4x^3 está dentro de uma potência, então faz sentido usar isso como substituição. Vamos definir:
u = 1 - 4x^3

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir o dx. Calculando:
dudx = -12x^2 implies du = -12x^2 dx implies x^2 dx = -112 du

Passo 4

Vamos substituir u e x^2 dx na integral original:
integral x^2 cdot(1-4 x^3)^15 d x = integral (1-4x^3)^15 x^2 dx = integral u^15 (-112 du) = -112 integral u^15 du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^15 em relação a u:
integral u^15 du = u^6565 = 56 u^65

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por 1 - 4x^3 na expressão que encontramos:
-112 cdot 56 (1 - 4x^3)^65 + C = -572 (1 - 4x^3)^65 + C

Resposta

A integral é igual a -572 (1 - 4x^3)^65 + C, onde C é a constante de integração.

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