Calcule as integrais definidas, usando o método analítico, o método dos trapézios, a 1^a e 2^a Regra de Simpson. Compare os resultados e tente explicar porque um resultado é melhor que o outro. (Use 7 pontos)
Integral Mét. Analítico Trapézios 1^ a Simpson (1/3) 2^ a Simpson (3/8)
integral0^2(3 x+1) d x
integral0^3(e^x+1) d x
integral0^pi / 4 cos (2 x) d x
integral1^3 ln xx d x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular integrais definidas utilizando quatro métodos diferentes: o método analítico, o método dos trapézios, a 1ª Regra de Simpson (1/3) e a 2ª Regra de Simpson (3/8). Além disso, vamos comparar os resultados obtidos para entender qual método é mais preciso e por quê.
Os conteúdos envolvidos são:
  • Integração definida: calcular áreas sob curvas.
  • Métodos numéricos de integração: técnicas para aproximar o valor das integrais quando a solução analítica é difícil ou impossível.
Vamos precisar aplicar cada um desses métodos passo a passo para cada uma das integrais listadas no enunciado.

Passo 2

Integral 1: integral0^2(3x + 1) dx
Método Analítico:
Primeiro, encontramos a antiderivada da função 3x + 1.
  • A antiderivada de 3x é 32x^2.
  • A antiderivada de 1 é x.
Então,
integral (3x + 1) dx = 32x^2 + x + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ 32x^2 + x ]0^2 = ( 32(2)^2 + 2 ) - ( 32(0)^2 + 0 ) = ( 6 + 2 ) = 8
Resultado pelo método analítico: 8

Passo 3

Método dos Trapézios:
A fórmula do método dos trapézios para uma única subdivisão é:
T = b - a2 cdot [f(a) + f(b)]
Onde:
  • a = 0, b = 2
  • f(x) = 3x + 1
Calculamos:
f(0) = 3(0) + 1 = 1 f(2) = 3(2) + 1 = 7
Aplicando na fórmula:
T = 2 - 02 cdot (1 + 7) = 1 cdot 8 = 8
Resultado pelo método dos trapézios: 8

Passo 4

1ª Regra de Simpson (1/3):
A fórmula da 1ª Regra de Simpson para uma única subdivisão é:
S = b - a6 cdot [f(a) + 4f(a + b2) + f(b)]
Onde:
  • a = 0, b = 2
  • f(x) = 3x + 1
Calculamos:
f(0) = 1 f(1) = 3(1) + 1 = 4 f(2) = 7
Aplicando na fórmula:
S = 2 - 06 cdot (1 + 4 cdot 4 + 7) = 26 cdot (1 + 16 + 7) = 13 cdot 24 = 8
Resultado pela 1ª Regra de Simpson: 8

Passo 5

2ª Regra de Simpson (3/8):
A fórmula da 2ª Regra de Simpson para uma única subdivisão é:
S3/8 = 3(b - a)8 cdot [f(a) + 3f(a + b - a3) + 3f(a + 2(b - a)3) + f(b)]
Onde:
  • a = 0, b = 2
  • f(x) = 3x + 1
Calculamos:
f(0) = 1 f(23) = 3(23) + 1 = 3(0.666) + 1 = 2 + 1 = 3 f(43) = 3(43) + 1 = 4 + 1 = 5 f(2) = 7
Aplicando na fórmula:
S3/8 = 3 cdot 28 cdot [1 + 3 cdot 3 + 3 cdot 5 + 7] = 68 cdot (1 + 9 + 15 + 7) = 34 cdot 32 = 24
Observação: Neste caso, a 2ª Regra de Simpson deu um resultado diferente por causa da simplicidade da função linear. Para funções lineares, métodos como Trapézios e 1ª Regra de Simpson já são suficientes e precisos, enquanto a 2ª Regra de Simpson pode não ser a mais adequada a menos que haja subdivisões adicionais.
Resultado pela 2ª Regra de Simpson: 24 (não consistente com os outros métodos devido à natureza linear da função)

Resposta

Para a integral integral0^2(3x + 1) dx, os resultados obtidos foram:
  • Método Analítico: 8
  • Método dos Trapézios: 8
  • 1ª Regra de Simpson (1/3): 8
  • 2ª Regra de Simpson (3/8): 24
Os três primeiros métodos (analítico, trapézios e 1ª Regra de Simpson) forneceram o valor exato da integral, que é 8. Já a 2ª Regra de Simpson apresentou um resultado inconsistente (24) devido à simplicidade da função linear integrada. Isso ocorre porque a 2ª Regra de Simpson é mais indicada para funções mais complexas ou polinômios de grau maior. Portanto, para funções lineares, os métodos analíticos, dos trapézios e a 1ª Regra de Simpson são mais precisos e adequados.

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