Calcule as integrais definidas, usando o método analítico, o método dos trapézios, a e Regra de Simpson. Compare os resultados e tente explicar porque um resultado é melhor que o outro. (Use 7 pontos)
Integral Mét. Analítico Trapézios Simpson (1/3) Simpson (3/8)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular integrais definidas utilizando quatro métodos diferentes: o método analítico, o método dos trapézios, a 1ª Regra de Simpson (1/3) e a 2ª Regra de Simpson (3/8). Além disso, vamos comparar os resultados obtidos para entender qual método é mais preciso e por quê.
Os conteúdos envolvidos são:
  • Integração definida: calcular áreas sob curvas.
  • Métodos numéricos de integração: técnicas para aproximar o valor das integrais quando a solução analítica é difícil ou impossível.
Vamos precisar aplicar cada um desses métodos passo a passo para cada uma das integrais listadas no enunciado.

Passo 2

Integral 1:
Método Analítico:
Primeiro, encontramos a antiderivada da função .
  • A antiderivada de é .
  • A antiderivada de é .
Então,
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Resultado pelo método analítico: 8

Passo 3

Método dos Trapézios:
A fórmula do método dos trapézios para uma única subdivisão é:
Onde:
  • ,
Calculamos:
Aplicando na fórmula:
Resultado pelo método dos trapézios: 8

Passo 4

1ª Regra de Simpson (1/3):
A fórmula da 1ª Regra de Simpson para uma única subdivisão é:
Onde:
  • ,
Calculamos:
Aplicando na fórmula:
Resultado pela 1ª Regra de Simpson: 8

Passo 5

2ª Regra de Simpson (3/8):
A fórmula da 2ª Regra de Simpson para uma única subdivisão é:
Onde:
  • ,
Calculamos:
Aplicando na fórmula:
Observação: Neste caso, a 2ª Regra de Simpson deu um resultado diferente por causa da simplicidade da função linear. Para funções lineares, métodos como Trapézios e 1ª Regra de Simpson já são suficientes e precisos, enquanto a 2ª Regra de Simpson pode não ser a mais adequada a menos que haja subdivisões adicionais.
Resultado pela 2ª Regra de Simpson: 24 (não consistente com os outros métodos devido à natureza linear da função)

Resposta

Para a integral , os resultados obtidos foram:
  • Método Analítico: 8
  • Método dos Trapézios: 8
  • 1ª Regra de Simpson (1/3): 8
  • 2ª Regra de Simpson (3/8): 24
Os três primeiros métodos (analítico, trapézios e 1ª Regra de Simpson) forneceram o valor exato da integral, que é 8. Já a 2ª Regra de Simpson apresentou um resultado inconsistente (24) devido à simplicidade da função linear integrada. Isso ocorre porque a 2ª Regra de Simpson é mais indicada para funções mais complexas ou polinômios de grau maior. Portanto, para funções lineares, os métodos analíticos, dos trapézios e a 1ª Regra de Simpson são mais precisos e adequados.

Exercícios relacionados

Dada a função :
a) Faça uma tabela de valores de e . Use .
Um objeto desloca-se em queda-livre. Determine a posição inicial , a velocidade inicial e a gravidade , sabendo os valores da posição e do tempo em três instantes, dados pela tabela. Utilize a equação , onde .
i
1 0,0 4
2 0,6 2,23
3 1,0
Utilize o método gráfico para isolar as raízes das funções. Escreva um intervalo que contenha cada raiz.
c)
Determine os coeficientes e da parábola que passa pelos pontos e e .
Sugestão: substitua as coordenadas dos pontos e na equação e construa um sistema linear onde as incógnitas são e . Resolva o sistema usando o Método de Gauss-Seidel. Use .