Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a) , onde .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre a região , que é o retângulo definido por e . A função que vamos integrar é . Para resolver isso, precisamos usar as propriedades das integrais duplas e saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a integral dupla como iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Como a região é retangular, podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Assim, a integral fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Podemos separar essa integral em duas partes:

Passo 4

Calculamos cada parte separadamente:
  1. Para :
Como é considerado constante em relação a :
  1. Para :
Novamente, é constante em relação a :

Passo 5

Somamos os resultados das duas integrais:
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a :

Passo 6

Vamos integrar em relação a :
Calculamos cada parte:
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

Somando os dois resultados:
Portanto, o valor da integral dupla é .

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Calcule as integrais abaixo.
$(a) .
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde .