Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a)
, onde
.
$(a)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre a região
, que é o retângulo definido por
e
. A função que vamos integrar é
. Para resolver isso, precisamos usar as propriedades das integrais duplas e saber como integrar funções de duas variáveis sobre uma região retangular.
Passo 2
Primeiro, reescrevemos a integral dupla como iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Como a região
é retangular, podemos integrar em qualquer ordem, mas vamos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 4
Calculamos cada parte separadamente:
- Para
:
Como
é considerado constante em relação a
:
- Para
:
Novamente,
é constante em relação a
:
Passo 5
Somamos os resultados das duas integrais:
Agora, nossa integral dupla se transforma em uma integral simples em relação a
:
Passo 6
Vamos integrar em relação a
:
Calculamos cada parte:
- Para
:
- Para
:
Resposta
Somando os dois resultados:
Portanto, o valor da integral dupla é
.
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Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais abaixo.
$(a) .
$(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde
.
$(b)