Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença que é tipo uma regra que relaciona termos de uma sequência. O enunciado diz:
com a condição inicial .
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos sobre equações de recorrência lineares de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo para achar a fórmula geral da sequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação homogênea associada. Isso significa ignorar o termo constante (-1) e resolver:
Essa é uma equação simples onde cada termo é o dobro do anterior.

Passo 3

A solução da equação homogênea é uma sequência geométrica. A fórmula geral é:
Aqui, é uma constante que a gente determina usando a condição inicial.

Passo 4

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa . Como o termo constante é -1, vamos supor que a solução particular é um número constante .
Substituindo na equação:
Resolvendo para :

Passo 5

A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 6

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação de diferença é:

Exercícios relacionados

Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a) , onde .
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde .
É possível que a equação seja verdadeira, mas ? Explique.