Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação de diferença que é tipo uma regra que relaciona termos de uma sequência. O enunciado diz:
com a condição inicial
.
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos sobre equações de recorrência lineares de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo para achar a fórmula geral da sequência.
Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos sobre equações de recorrência lineares de primeira ordem. Vamos seguir passo a passo para achar a fórmula geral da sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação homogênea associada. Isso significa ignorar o termo constante (-1) e resolver:
Essa é uma equação simples onde cada termo é o dobro do anterior.
Passo 3
A solução da equação homogênea é uma sequência geométrica. A fórmula geral é:
Aqui,
é uma constante que a gente determina usando a condição inicial.
Passo 4
Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação completa
. Como o termo constante é -1, vamos supor que a solução particular é um número constante
.
Substituindo na equação:
Resolvendo para
:
Passo 5
A solução geral da equação é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Passo 6
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
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Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a) , onde
.
$(a)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde
.
$(b)
É possível que a equação
seja verdadeira, mas
? Explique.