Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b)
, onde
.
$(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu! A gente precisa calcular
, onde a região
é definida por
e
. A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar o volume sob uma superfície em uma região específica. Vamos precisar usar integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos focar na integral interna, que é
. Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. Para resolver essa integral, vamos usar a regra básica de integração de funções trigonométricas.
Passo 4
A integral de
em relação a
é
. Então, multiplicando pelo
, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular os limites de integração:
Passo 6
Substituindo de volta na integral externa, temos:
Passo 7
Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:
Passo 8
Para resolver cada uma dessas integrais, vamos usar o método de integração por partes, onde:
Passo 9
Aplicando a integração por partes para
:
Passo 10
Agora, aplicamos os limites de integração para cada parte:
Passo 11
Calculando cada termo:
Para
:
Para
:
Passo 12
Juntando tudo:
Passo 13
Simplificando:
Resposta
A integral dupla
é igual a
. Se precisar de um valor numérico aproximado, é só substituir os valores das funções seno e cosseno:
Calculando isso, você chega a aproximadamente 1.279.
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Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a) , onde
.
$(a)
É possível que a equação
seja verdadeira, mas
? Explique.
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: