Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que o exercício pediu! A gente precisa calcular , onde a região é definida por e . A matéria envolvida aqui é o cálculo de integrais duplas, que são usadas para encontrar o volume sob uma superfície em uma região específica. Vamos precisar usar integração iterada, ou seja, integrar primeiro em relação a uma variável e depois na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Podemos escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a :

Passo 3

Agora, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . Para resolver essa integral, vamos usar a regra básica de integração de funções trigonométricas.

Passo 4

A integral de em relação a é . Então, multiplicando pelo , temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites de integração:

Passo 6

Substituindo de volta na integral externa, temos:

Passo 7

Vamos separar essa integral em duas partes para facilitar:

Passo 8

Para resolver cada uma dessas integrais, vamos usar o método de integração por partes, onde:

Passo 9

Aplicando a integração por partes para :

Passo 10

Agora, aplicamos os limites de integração para cada parte:

Passo 11

Calculando cada termo:
Para :
Para :

Passo 12

Juntando tudo:

Passo 13

Simplificando:

Resposta

A integral dupla é igual a . Se precisar de um valor numérico aproximado, é só substituir os valores das funções seno e cosseno:
Calculando isso, você chega a aproximadamente 1.279.

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Calcule as integrais duplas abaixo.
$(a) , onde .
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