Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é basicamente uma espécie de fórmula que relaciona termos consecutivos de uma sequência. O enunciado nos dá a relação
e a condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recorrências lineares de primeira ordem e como encontrar uma fórmula que nos dê qualquer termo da sequência diretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma recorrência linear de primeira ordem. Isso significa que cada termo depende linearmente do termo anterior. A forma geral desse tipo de equação é
, onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver essa recorrência, vamos separar em duas partes: a solução da equação homogênea e uma solução particular. A equação homogênea associada é
. Resolvendo essa, temos:
onde
é uma constante que vamos determinar com base na condição inicial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa
. Procuramos uma constante
que satisfaça a equação:
Resolvendo para
:
Então, a solução particular é
.
Passo 5
A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar
. Sabemos que
. Substituindo
na solução geral:
Passo 6
Com
, a solução da equação de diferença fica:
Isso significa que todos os termos da sequência são iguais a 1.
Resposta
A solução da equação de diferença é
para todo
.