Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: y_{n+1} = 2 y_n - 1, y_0 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de diferença que é basicamente uma espécie de fórmula que relaciona termos consecutivos de uma sequência. O enunciado nos dá a relação e a condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre recorrências lineares de primeira ordem e como encontrar uma fórmula que nos dê qualquer termo da sequência diretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a equação dada é uma recorrência linear de primeira ordem. Isso significa que cada termo depende linearmente do termo anterior. A forma geral desse tipo de equação é , onde e são constantes. No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver essa recorrência, vamos separar em duas partes: a solução da equação homogênea e uma solução particular. A equação homogênea associada é . Resolvendo essa, temos:
onde é uma constante que vamos determinar com base na condição inicial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Procuramos uma constante que satisfaça a equação:
Resolvendo para :
Então, a solução particular é .

Passo 5

A solução geral da equação de diferença é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar . Sabemos que . Substituindo na solução geral:

Passo 6

Com , a solução da equação de diferença fica:
Isso significa que todos os termos da sequência são iguais a 1.

Resposta

A solução da equação de diferença é para todo .

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