Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferença, que é tipo uma equação que relaciona termos consecutivos de uma sequência. A equação dada é:
E a condição inicial é:
O objetivo aqui é encontrar a solução dessa equação, ou seja, descobrir uma fórmula que nos diga o valor de para qualquer , começando de .
Para resolver isso, vamos usar um método chamado fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações de diferença lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples. Vamos colocar todos os termos envolvendo de um lado e os outros do outro:
Agora, a equação está no formato:
onde:

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular esse produto passo a passo.

Passo 4

Calculando o fator integrante :
Isso significa que multiplicamos:
Observamos que a maioria dos termos se cancela:
Então, o fator integrante é:

Passo 5

Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
No entanto, uma abordagem mais simples após encontrar é usar a fórmula geral para equações lineares de primeira ordem:
Onde é a constante de integração que determinamos usando a condição inicial.

Passo 6

Aplicando a fórmula geral:
Simplificando a soma:
Aqui, é a série harmônica, que é conhecida e representada por .
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que quando , .
Substituindo na fórmula:
Sabemos que (por convenção), então:

Passo 8

Agora que encontramos , substituímos de volta na fórmula geral:

Resposta

A solução da equação de diferença é:
Onde é a série harmônica até o termo .

Exercícios relacionados

É possível que a equação seja verdadeira, mas ? Explique.
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde .
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: