Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de diferença, que é tipo uma equação que relaciona termos consecutivos de uma sequência. A equação dada é:
E a condição inicial é:
O objetivo aqui é encontrar a solução dessa equação, ou seja, descobrir uma fórmula que nos diga o valor de
para qualquer
, começando de
.
Para resolver isso, vamos usar um método chamado fator integrante, que é uma técnica comum para resolver equações de diferença lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de uma forma mais simples. Vamos colocar todos os termos envolvendo
de um lado e os outros do outro:
Agora, a equação está no formato:
onde:
Passo 3
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Vamos calcular esse produto passo a passo.
Passo 4
Calculando o fator integrante
:
Isso significa que multiplicamos:
Observamos que a maioria dos termos se cancela:
Então, o fator integrante é:
Passo 5
Agora, multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
No entanto, uma abordagem mais simples após encontrar
é usar a fórmula geral para equações lineares de primeira ordem:
Onde
é a constante de integração que determinamos usando a condição inicial.
Passo 6
Aplicando a fórmula geral:
Simplificando a soma:
Aqui,
é a série harmônica, que é conhecida e representada por
.
Então:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que quando
,
.
Substituindo na fórmula:
Sabemos que
(por convenção), então:
Passo 8
Agora que encontramos
, substituímos de volta na fórmula geral:
Resposta
A solução da equação de diferença é:
Onde
é a série harmônica até o termo
.
Exercícios relacionados
É possível que a equação
seja verdadeira, mas
? Explique.
Calcule as integrais duplas abaixo.
$(b) , onde
.
$(b)
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas:
Determine a solução das equações de diferença satisfazendo as condições iniciais dadas: