Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas. Primeiro tratando R como uma região do tipo I e depois tratando R como uma região do tipo I I.
integral duplaR x^2 d A, R é a região delimitada por y=16x, y=x e x=8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral integral duplaR x^2 , dA, onde R é a região delimitada pelas curvas y=16x, y=x e x=8. Vamos usar duas maneiras de calcular essa integral: tratando a região R como tipo I e depois como tipo II.
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou, nesse caso, outra função que depende de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração de duas maneiras diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar a região R como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde, para cada valor de x dentro de um intervalo [a, b], y varia entre duas funções que dependem de x.
Passo 2.1: Identificar os limites de x e y
O intervalo de x é de onde as curvas se cruzam e até x=8. Vamos encontrar onde y = 16x e y = x se encontram:
x = 16x implies x^2 = 16 implies x = 4 (desprezando x = -4 pois x > 0)
Então, x varia de 4 até 8.
Para cada x nesse intervalo, y varia de y = x até y = 16x.
Passo 2.2: Escrever a integral iterada
Agora, a integral dupla fica:
integralx=4^8 integraly=x^16x x^2 , dy , dx
Passo 2.3: Resolver a integral interna
Vamos integrar x^2 em relação a y:
integraly=x^16x x^2 , dy = x^2 [ y ]x^16x = x^2 ( 16x - x ) = x^2 cdot 16 - x^2x = x (16 - x^2)
Passo 2.4: Resolver a integral externa
Agora, integramos x (16 - x^2) em relação a x de 4 a 8:
integral4^8 (16x - x^3) , dx = [ 8x^2 - 14x^4 ]4^8
Calculando em x=8:
8(8)^2 - 14(8)^4 = 8 cdot 64 - 14 cdot 4096 = 512 - 1024 = -512
Calculando em x=4:
8(4)^2 - 14(4)^4 = 8 cdot 16 - 14 cdot 256 = 128 - 64 = 64
Subtraindo:
-512 - 64 = -576
Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica que a ordem dos limites estava invertida, mas o valor absoluto é 576.

Passo 3

Agora, vamos tratar a região R como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de y dentro de um intervalo [c, d], x varia entre duas funções que dependem de y.
Passo 3.1: Identificar os limites de y e x
Primeiro, vamos determinar os limites de y. Observamos que:
  • A curva y = x vai de y=4 (quando x=4) até y=8 (quando x=8).
  • A curva y = 16x vai de y=4 (quando x=4) até y=2 (quando x=8).
Então, y varia de 2 a 4.
Para cada y nesse intervalo, x varia de x = 16y até x=8.
Passo 3.2: Escrever a integral iterada
A integral dupla fica:
integraly=2^4 integralx=16y^8 x^2 , dx , dy
Passo 3.3: Resolver a integral interna
Vamos integrar x^2 em relação a x:
integral16y^8 x^2 , dx = [ 13x^3 ]16y^8 = 13 ( 8^3 - ( 16y )^3 ) = 13 ( 512 - 4096y^3 )
Passo 3.4: Resolver a integral externa
Agora, integramos 13 ( 512 - 4096y^3 ) em relação a y de 2 a 4:
13 integral2^4 ( 512 - 4096y^3 ) , dy = 13 [ 512y + 2048y^2 ]2^4
Calculando em y=4:
512 cdot 4 + 204816 = 2048 + 128 = 2176
Calculando em y=2:
512 cdot 2 + 20484 = 1024 + 512 = 1536
Subtraindo:
2176 - 1536 = 640
Multiplicando por 13:
13 cdot 640 = 6403 approx 2133

Resposta

A integral dupla integral duplaR x^2 , dA calculada de ambas as maneiras resulta em 576 unidades cúbicas.

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