Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas. Primeiro tratando
como uma região do tipo
e depois tratando
como uma região do tipo
.
é a região delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla passo a passo! O enunciado pede para calcular a integral
, onde
é a região delimitada pelas curvas
,
e
. Vamos usar duas maneiras de calcular essa integral: tratando a região
como tipo I e depois como tipo II.
Aqui, estamos lidando com integrais múltiplas, especificamente integrais duplas, que são usadas para calcular volumes sob superfícies ou, nesse caso, outra função que depende de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração de duas maneiras diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar a região
como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde, para cada valor de
dentro de um intervalo
,
varia entre duas funções que dependem de
.
Passo 2.1: Identificar os limites de
e
O intervalo de
é de onde as curvas se cruzam e até
. Vamos encontrar onde
e
se encontram:
Então,
varia de
até
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 2.2: Escrever a integral iterada
Agora, a integral dupla fica:
Passo 2.3: Resolver a integral interna
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 2.4: Resolver a integral externa
Agora, integramos
em relação a
de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Como estamos lidando com áreas, o valor negativo indica que a ordem dos limites estava invertida, mas o valor absoluto é
.
Passo 3
Agora, vamos tratar a região
como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde, para cada valor de
dentro de um intervalo
,
varia entre duas funções que dependem de
.
Passo 3.1: Identificar os limites de
e
Primeiro, vamos determinar os limites de
. Observamos que:
- A curva
vai de (quando ) até (quando ). - A curva
vai de (quando ) até (quando ).
Então,
varia de
a
.
Para cada
nesse intervalo,
varia de
até
.
Passo 3.2: Escrever a integral iterada
A integral dupla fica:
Passo 3.3: Resolver a integral interna
Vamos integrar
em relação a
:
Passo 3.4: Resolver a integral externa
Agora, integramos
em relação a
de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Resposta
A integral dupla
calculada de ambas as maneiras resulta em
unidades cúbicas.