Use integral dupla para calcular o volume do sólido:
limitado acima pelo parabolóide z = 9*x^2 + y^2, abaixo pelo plano z = 0 e lateralmente pelos planos x=0, y=0, x=3 e y = 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido está limitado pelo parabolóide em cima, pelo plano embaixo, e pelos planos verticais , , e . Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O sólido está limitado nos valores de entre 0 e 3, e nos valores de entre 0 e 2. O valor de vai de 0 até . Então, nosso volume pode ser representado pela integral dupla da função que define a altura do sólido, que é , sobre a região retangular [0,3] para e [0,2] para .

Passo 3

Agora vamos escrever a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a 2, e depois em relação a de 0 a 3.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Calculando cada parte separadamente:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 3:
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:

Resposta

Somando as duas partes, o volume é:
Portanto, o volume do sólido é 170 unidades cúbicas.

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