Use integral dupla para calcular o volume do sólido:
limitado acima pelo parabolóide
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelos planos
e
.
limitado acima pelo parabolóide
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido usando integral dupla. O sólido está limitado pelo parabolóide
em cima, pelo plano
embaixo, e pelos planos verticais
,
,
e
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais duplas em cálculo multivariado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. O sólido está limitado nos valores de
entre 0 e 3, e nos valores de
entre 0 e 2. O valor de
vai de 0 até
. Então, nosso volume
pode ser representado pela integral dupla da função que define a altura do sólido, que é
, sobre a região retangular [0,3] para
e [0,2] para
.
Passo 3
Agora vamos escrever a integral dupla para calcular o volume:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a
de 0 a 2, e depois em relação a
de 0 a 3.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Calculando cada parte separadamente:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 3:
Vamos separar a integral:
Calculando cada parte:
Resposta
Somando as duas partes, o volume
é:
Portanto, o volume do sólido é 170 unidades cúbicas.