Calcule
, onde
é a região limitada por
e
. Atenção na escolha da ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
. O enunciado está pedindo pra calcular essa integral sobre a região
, que é limitada por
,
e
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente escolhendo a melhor ordem de integração para facilitar nosso trabalho. Vamos precisar entender como descrever a região
e decidir se é melhor integrar primeiro em
ou em
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos a curva
, que é uma parábola voltada para a direita, o eixo
(o eixo
), e a linha horizontal
. Para entender melhor os limites de integração, é bom esboçar esse gráfico.
Passo 3
Observando o gráfico, vemos que para
entre
e
, o valor de
varia de
até
(pois
rearranjando
). Isso sugere que é mais fácil integrar primeiro em
de
a
, e depois em
de
a
.
Passo 4
Então, reescrevendo a integral com essa ordem de integração:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a
. Note que
não depende de
, então ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração:
Passo 6
Substituindo essa expressão de volta na integral externa, temos:
Passo 7
Agora, vamos resolver essa integral em relação a
. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Integrando
:
Passo 10
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor da integral é
.