Calcule integral duplaR sin (y^3) d A, onde R é a região limitada por y=raizx, y=2 e x=0. Atenção na escolha da ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR sin (y^3) d A. O enunciado está pedindo pra calcular essa integral sobre a região R, que é limitada por y = raizx, y = 2 e x = 0. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo de integrais duplas, especificamente escolhendo a melhor ordem de integração para facilitar nosso trabalho. Vamos precisar entender como descrever a região R e decidir se é melhor integrar primeiro em x ou em y.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região R. Temos a curva y = raizx, que é uma parábola voltada para a direita, o eixo x=0 (o eixo y), e a linha horizontal y=2. Para entender melhor os limites de integração, é bom esboçar esse gráfico.

Passo 3

Observando o gráfico, vemos que para y entre 0 e 2, o valor de x varia de 0 até y^2 (pois x = y^2 rearranjando y = raizx). Isso sugere que é mais fácil integrar primeiro em x de 0 a y^2, e depois em y de 0 a 2.

Passo 4

Então, reescrevendo a integral com essa ordem de integração:
integraly=0^2 integralx=0^y^2 sin(y^3) , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a x. Note que sin(y^3) não depende de x, então ela pode ser tratada como uma constante durante essa integração:
integralx=0^y^2 sin(y^3) , dx = sin(y^3) cdot [ x ]0^y^2 = sin(y^3) cdot y^2

Passo 6

Substituindo essa expressão de volta na integral externa, temos:
integral0^2 y^2 sin(y^3) , dy

Passo 7

Agora, vamos resolver essa integral em relação a y. Para isso, fazemos uma substituição simples. Seja u = y^3, então du = 3y^2 dy, ou seja, du3 = y^2 dy.

Passo 8

Substituindo na integral:
integralu=0^u=8 sin(u) cdot du3 = 13 integral0^8 sin(u) , du

Passo 9

Integrando sin(u):
13 [ -cos(u) ]0^8 = 13 ( -cos(8) + cos(0) )

Passo 10

Sabemos que cos(0) = 1, então:
13 ( -cos(8) + 1 ) = 1 - cos(8)3

Resposta

O valor da integral é dfrac1 - cos(8)3.

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