Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma regiāo do tipo Ie (b) tratando
como uma regiāo do tipo II.
é a região compreendida por
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre a região
, que é limitada pelas curvas
,
,
e
. Vamos resolver isso de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma região do tipo I
e (b) tratando
como uma região do tipo II. Para isso, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente para cada caso.
Passo 2
Parte (a): Região do tipo I
Quando tratamos
como uma região do tipo I
, fixamos
primeiro e descrevemos
em função de
.
- Limites de
: A região está entre e . - **Para cada
, varia de até (já que ).
Então, a integral dupla fica:
Passo 3
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Passo 4
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Passo 5
Parte (b): Região do tipo II
Agora, vamos tratar
como uma região do tipo II, onde fixamos
primeiro e descrevemos
em função de
.
- Limites de
: A região vai de até (pois e se intersectam em ). - **Para cada
: - Se
, varia de até . - Se
, varia de até .
- Se
Então, a integral dupla fica dividida em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira parte (
):
Segunda parte (
):
Calculando cada termo:
Então, a segunda parte da integral é:
Passo 7
Somando as duas partes:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.