Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando R como uma regiāo do tipo Ie (b) tratando R como uma regiāo do tipo II. integral duplaR x y^2 d A ; R é a região compreendida por y=1, y=2, x=0 e y=x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular uma integral dupla sobre a região , que é limitada pelas curvas , , e . Vamos resolver isso de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando como uma região do tipo I e (b) tratando como uma região do tipo II. Para isso, vamos precisar configurar os limites de integração corretamente para cada caso.

Passo 2

Parte (a): Região do tipo I integral duplaR x y^2 , dA = integraly=1^2 integralx=0^y x y^2 , dx , dy
Quando tratamos como uma região do tipo I , fixamos primeiro e descrevemos em função de .
  1. Limites de : A região está entre e .
  2. **Para cada , varia de até (já que ).
Então, a integral dupla fica:

Passo 3

Vamos calcular a integral interna em relação a integral0^y x y^2 , dx = y^2 integral0^y x , dx = y^2 [ x^22 ]0^y = y^2 cdot y^22 = y^42 :

Passo 4

Agora, integramos o resultado em relação a integral1^2 y^42 , dy = 12 integral1^2 y^4 , dy = 12 [ y^55 ]1^2 = 12 ( 325 - 15 ) = 12 cdot 315 = 3110 :

Passo 5

Parte (b): Região do tipo II
Agora, vamos tratar integral duplaR x y^2 , dA = integral0^1 integral1^2 x y^2 , dy , dx + integral1^2 integralx^2 x y^2 , dy , dx como uma região do tipo II, onde fixamos primeiro e descrevemos em função de .
  1. Limites de : A região vai de até (pois e se intersectam em ).
  2. **Para cada :
    • Se , varia de até .
    • Se , varia de até .
Então, a integral dupla fica dividida em duas partes:

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira parte ( integral0^1 integral1^2 x y^2 , dy , dx = integral0^1 x [ y^33 ]1^2 , dx = integral0^1 x ( 83 - 13 ) , dx = integral0^1 x cdot 73 , dx = 73 cdot 12 = 76 ):
integral1^2 integralx^2 x y^2 , dy , dx = integral1^2 x [ y^33 ]x^2 , dx = integral1^2 x ( 83 - x^33 ) , dx = integral1^2 ( 8x3 - x^43 ) , dx
Segunda parte ( 83 integral1^2 x , dx = 83 [ x^22 ]1^2 = 83 ( 42 - 12 ) = 83 cdot 32 = 4 ):
13 integral1^2 x^4 , dx = 13 [ x^55 ]1^2 = 13 ( 325 - 15 ) = 13 cdot 315 = 3115
Calculando cada termo:
4 - 3115 = 6015 - 3115 = 2915
Então, a segunda parte da integral é:

Passo 7

Somando as duas partes:
76 + 2915 = 3530 + 5830 = 9330 = 3110

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é .

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