Encontre as áreas das regiões das seguintes curvas:
f) Interseção das cardióides r = 2(1 + cos(θ)) e r = 2(1 - cos(θ)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as áreas das regiões formadas pela interseção das cardióides e . A matéria que estamos usando aqui é coordenadas polares e cálculo de áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas curvas e depois calcular as integrais das funções envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas cardióides se interceptam. Isso acontece quando . Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando em ambos os lados:
A solução para são e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos visualizar as duas cardióides. A primeira, , é uma cardióide que tem seu “pico” para a direita no eixo positivo de . A segunda, , tem o “pico” para a esquerda no eixo negativo de .

Passo 4

Para encontrar a área das regiões de interseção, vamos calcular a área de uma das regiões e depois multiplicar por 2, já que a simetria das curvas faz com que as áreas sejam iguais dos dois lados.
A fórmula para a área em coordenadas polares entre e para uma curva é:

Passo 5

Vamos determinar qual das duas curvas está por fora na região de interseção entre e . Observando os gráficos, percebemos que está por fora de nesse intervalo.

Passo 6

Assim, a área de uma das regiões será a diferença entre as áreas das duas cardióides nesse intervalo. Então:
ã

Passo 7

Vamos expandir os quadrados:
Substituindo na expressão da área:
ã
Simplificando:
ã

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral:
A integral de é :
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
ã

Passo 9

Lembrando que calculamos a área de uma região e que há duas regiões iguais devido à simetria das curvas, a área total é:

Resposta

A área das regiões de interseção das cardióides e é 32 unidades de área.

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