Encontre as áreas das regiões das seguintes curvas:
f) Interseção das cardióides
e
.
f) Interseção das cardióides
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as áreas das regiões formadas pela interseção das cardióides
e
. A matéria que estamos usando aqui é coordenadas polares e cálculo de áreas entre curvas. Para isso, vamos precisar identificar os pontos de interseção das duas curvas e depois calcular as integrais das funções envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas cardióides se interceptam. Isso acontece quando
. Simplificando:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Somando
em ambos os lados:
A solução para
são
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se interceptam, vamos visualizar as duas cardióides. A primeira,
, é uma cardióide que tem seu “pico” para a direita no eixo positivo de
. A segunda,
, tem o “pico” para a esquerda no eixo negativo de
.
Passo 4
Para encontrar a área das regiões de interseção, vamos calcular a área de uma das regiões e depois multiplicar por 2, já que a simetria das curvas faz com que as áreas sejam iguais dos dois lados.
A fórmula para a área em coordenadas polares entre
e
para uma curva
é:
Passo 5
Vamos determinar qual das duas curvas está por fora na região de interseção entre
e
. Observando os gráficos, percebemos que
está por fora de
nesse intervalo.
Passo 6
Assim, a área de uma das regiões será a diferença entre as áreas das duas cardióides nesse intervalo. Então:
Passo 7
Vamos expandir os quadrados:
Substituindo na expressão da área:
Simplificando:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral:
A integral de
é
:
Como área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Passo 9
Lembrando que calculamos a área de uma região e que há duas regiões iguais devido à simetria das curvas, a área total é:
Resposta
A área das regiões de interseção das cardióides
e
é 32 unidades de área.