Caleule as integrais duplas. integral duplaR x(1+y^2)^-1 / 2 d A ; R é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x^2, y=4 e x=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região do primeiro quadrante delimitada por , e . Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral e geometria para determinar os limites de integração e resolver a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região x^2 = 4 implies x = raiz4 = 2 . Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde e . As curvas que delimitam são:
  • : uma parábola que abre para cima.
  • : uma linha horizontal.
  • : o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção entre e para saber os limites de :
Então, varia de 0 a 2.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites para integralx=0^2 integraly=x^2^4 x(1+y^2)^-1 / 2 dy , dx . Para cada no intervalo de 0 a 2, varia de até . Portanto, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a integraly=x^2^4 x(1+y^2)^-1 / 2 dy :
integral (1+y^2)^-1 / 2 dy = sinh^-1(y) + C
Aqui, x [ sinh^-1(4) - sinh^-1(x^2) ] é tratado como uma constante em relação a . A integral de em relação a é , mas para simplificar, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a derivada de é . Portanto:
Então, a integral interna fica:

Passo 5

Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
integral0^2 x [ sinh^-1(4) - sinh^-1(x^2) ] dx
Podemos separar essa integral em duas partes:
sinh^-1(4) integral0^2 x , dx - integral0^2 x sinh^-1(x^2) , dx

Passo 6

Vamos calcular a primeira integral:
sinh^-1(4) integral0^2 x , dx = sinh^-1(4) [ x^22 ]0^2 = sinh^-1(4) ( 42 - 0 ) = 2 sinh^-1(4)

Passo 7

Agora, a segunda integral:
integral0^2 x sinh^-1(x^2) , dx
Vamos usar uma substituição. Seja 12 integral0^4 sinh^-1(u) , du , então 12 [ u sinh^-1(u) - raiz1 + u^2 ]0^4 = 12 [ 4 sinh^-1(4) - raiz17 - (0 - 1) ] = 12 ( 4 sinh^-1(4) - raiz17 + 1 ) ou . Quando , ; quando , . A integral se torna:
A integral de é , então:

Passo 8

Agora, juntando as duas partes:
2 sinh^-1(4) - 12 ( 4 sinh^-1(4) - raiz17 + 1 ) = 2 sinh^-1(4) - 2 sinh^-1(4) + raiz172 - 12
Simplificando:
raiz172 - 12 = raiz17 - 12

Resposta

O valor da integral dupla é .

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