Caleule as integrais duplas.
é a região do primeiro quadrante compreendida por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
,
e
. Vamos utilizar conhecimentos de cálculo integral e geometria para determinar os limites de integração e resolver a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela está no primeiro quadrante, ou seja, onde
e
. As curvas que delimitam
são:
-
: uma parábola que abre para cima. -
: uma linha horizontal. -
: o eixo .
Vamos encontrar os pontos de interseção entre
e
para saber os limites de
:
Então,
varia de 0 a 2.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites para
. Para cada
no intervalo de 0 a 2,
varia de
até
. Portanto, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos começar resolvendo a integral interna em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
. A integral de
em relação a
é
, mas para simplificar, podemos usar uma substituição trigonométrica ou reconhecer que a derivada de
é
. Portanto:
Então, a integral interna fica:
Passo 5
Agora, substituímos a integral interna na integral externa:
Podemos separar essa integral em duas partes:
Passo 6
Vamos calcular a primeira integral:
Passo 7
Agora, a segunda integral:
Vamos usar uma substituição. Seja
, então
ou
. Quando
,
; quando
,
. A integral se torna:
A integral de
é
, então:
Passo 8
Agora, juntando as duas partes:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.