Caleule as integrais duplas.
é a região compreendida por
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral dupla
onde a região
é delimitada por
,
e
. Isso envolve o estudo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Precisamos achar onde as curvas se encontram para definir os limites. Vamos igualar
com
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de interseção são
e
. Porém, como
também é um limite, nos concentramos na parte onde
.
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas:
-
passa de a (mas considerando o encontro com em ). -
é uma reta que intercepta o eixo y em 6.
Para facilitar, vamos integrar primeiro em relação a
e depois a
. Então, para cada
entre 0 e 4,
varia de 0 até
. E de 4 a 6,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla dividida em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Expandindo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Subtraindo:
Resposta
A integral dupla
vale
.