Caleule as integrais duplas. integral duplaR x y d A ; R é a região compreendida por y=raizx, y=6-x e y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral dupla integral duplaR x y , dA onde a região R é delimitada por y = raizx, y = 6 - x e y = 0. Isso envolve o estudo de integrais duplas, que é uma parte do cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender como definir os limites de integração e calcular a integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R. Precisamos achar onde as curvas se encontram para definir os limites. Vamos igualar y = raizx com y = 6 - x:
raizx = 6 - x
Elevando ambos os lados ao quadrado:
x = (6 - x)^2 x = 36 - 12x + x^2 x^2 - 13x + 36 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 13 pm raiz169 - 1442 = 13 pm 52 x = 9 ou x = 4
Então, os pontos de interseção são (4, 2) e (9, -3). Porém, como y = 0 também é um limite, nos concentramos na parte onde y >= 0.

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Observando as curvas:
  • y = raizx passa de x = 0 a x = 36 (mas considerando o encontro com y = 6 - x em x=4).
  • y = 6 - x é uma reta que intercepta o eixo y em 6.
Para facilitar, vamos integrar primeiro em relação a y e depois a x. Então, para cada x entre 0 e 4, y varia de 0 até raizx. E de 4 a 6, y varia de 0 até 6 - x.

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla dividida em duas partes:
integral duplaR x y , dA = integral0^4 integral0^raizx x y , dy , dx + integral4^6 integral0^6 - x x y , dy , dx

Passo 5

Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
integral0^4 ( integral0^raizx x y , dy ) dx = integral0^4 x [ y^22 ]0^raizx dx = integral0^4 x ( x2 ) dx = 12 integral0^4 x^2 , dx = 12 [ x^33 ]0^4 = 12 ( 643 ) = 323
Segunda integral:
integral4^6 ( integral0^6 - x x y , dy ) dx = integral4^6 x [ y^22 ]0^6 - x dx = integral4^6 x ( (6 - x)^22 ) dx = 12 integral4^6 x (36 - 12x + x^2) , dx
Expandindo:
12 integral4^6 (36x - 12x^2 + x^3) , dx = 12 [ 18x^2 - 4x^3 + x^44 ]4^6
Calculando em x=6:
18(36) - 4(216) + 12964 = 648 - 864 + 324 = 108
Calculando em x=4:
18(16) - 4(64) + 2564 = 288 - 256 + 64 = 96
Subtraindo:
108 - 96 = 12 12 times 12 = 6

Resposta

A integral dupla integral duplaR x y , dA vale 323 + 6 = 503.

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