Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma regiāo do tipo Ie (b) tratando
como uma regiāo do tipo II.
é a região compreendida pelo círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de integrais duplas! O enunciado pede para calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é o círculo definido por
. A gente vai fazer isso de duas maneiras utilizando integrais iteradas: primeiro, tratando
como uma região do tipo I e depois como uma região do tipo II. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada tipo de região e aplicar as fórmulas de integração dupla.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar
como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde podemos expressar
entre duas funções de
. No nosso caso, o círculo
pode ser resolvido para
, dando
. Então, para cada valor de
,
varia de
a
. Além disso,
varia de
a
para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. A integral fica assim:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Observamos que a função
é ímpar, ou seja,
. Como estamos integrando de
a
, a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero. Portanto:
Passo 5
Agora, vamos tratar
como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde podemos expressar
entre duas funções de
. No nosso círculo
, resolvendo para
, temos
. Então, para cada valor de
,
varia de
a
. E
varia de
a
.
Passo 6
Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
:
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Substituindo os limites:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Observamos novamente que a função
é ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar de
a
também é zero:
Resposta
A integral dupla
sobre a região
definida pelo círculo
é igual a 0.