Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando R como uma regiāo do tipo Ie (b) tratando R como uma regiāo do tipo II. integral duplaR(3 x-2 y) d A ; R é a região compreendida pelo círculo x^2+y^2=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de integrais duplas! O enunciado pede para calcular a integral dupla de sobre a região , que é o círculo definido por . A gente vai fazer isso de duas maneiras utilizando integrais iteradas: primeiro, tratando como uma região do tipo I e depois como uma região do tipo II. Para isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração para cada tipo de região e aplicar as fórmulas de integração dupla.

Passo 2

Primeiro, vamos tratar como uma região do tipo I. Uma região do tipo I é aquela onde podemos expressar entre duas funções de . No nosso caso, o círculo pode ser resolvido para , dando . Então, para cada valor de , varia de a . Além disso, varia de a para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a integraly=-1^1 integralx=-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 (3x - 2y) , dx , dy e depois em relação a integralx=-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 (3x - 2y) , dx = [ 32x^2 - 2y x ]-raiz1 - y^2^raiz1 - y^2 . A integral fica assim:
( 32(1 - y^2) - 2y cdot raiz1 - y^2 ) - ( 32(1 - y^2) + 2y cdot raiz1 - y^2 ) = -4y cdot raiz1 - y^2
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral-1^1 -4y cdot raiz1 - y^2 , dy
Observamos que a função integral-1^1 -4y cdot raiz1 - y^2 , dy = 0 é ímpar, ou seja, . Como estamos integrando de a , a integral de uma função ímpar nesse intervalo é zero. Portanto:

Passo 5

Agora, vamos tratar como uma região do tipo II. Uma região do tipo II é aquela onde podemos expressar entre duas funções de . No nosso círculo , resolvendo para , temos . Então, para cada valor de , varia de a . E varia de a .

Passo 6

Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada, integrando primeiro em relação a integralx=-1^1 integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (3x - 2y) , dy , dx e depois em relação a integraly=-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 (3x - 2y) , dy = [ 3x y - y^2 ]-raiz1 - x^2^raiz1 - x^2 :
3x cdot raiz1 - x^2 - (1 - x^2) - ( -3x cdot raiz1 - x^2 - (1 - x^2) ) = 6x cdot raiz1 - x^2 - 0 = 6x cdot raiz1 - x^2
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Substituindo os limites:

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral-1^1 6x cdot raiz1 - x^2 , dx
Observamos novamente que a função integral-1^1 6x cdot raiz1 - x^2 , dx = 0 é ímpar. Portanto, a integral de uma função ímpar de a também é zero:

Resposta

A integral dupla sobre a região definida pelo círculo é igual a 0.

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