Caleule as integrais duplas. integral duplaR x cos y d A ; R é a regiao triangular delimitada pelas retas y=x, y=0 e x=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O problema pede para calcular a integral dupla , onde é a região triangular delimitada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para resolver isso. Precisamos entender os limites de integração com base na região e aplicar as técnicas de integração adequadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender e desenhar a região . Temos três retas que delimitam :
  1. – uma linha que passa pela origem com inclinação 1.
  2. – o eixo .
  3. – uma linha vertical onde é constante e igual a .
Quando a gente desenha essas retas, percebe que formam um triângulo com vértices em , e . Então, nossa região de integração é esse triângulo.

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a integralx=0^pi integraly=0^x x cos y , dy , dx e depois em relação a .
Para um dado entre e :
  • A menor valor de é (a base do triângulo).
  • A maior valor de é (a hipotenusa do triângulo).
Então, podemos escrever a integral dupla assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^x x cos y , dy :
x integral0^x cos y , dy = x [sin y]0^x = x (sin x - sin 0) = x sin x
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a . A integral de em relação a é . Então:

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi x sin x , dx
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • integral x sin x , dx = -x cos x + integral cos x , dx = -x cos x + sin x  ⇒  [-pi cos pi + sin pi] - [ -0 cos 0 + sin 0 ] = [-pi (-1) + 0] - [0 + 0] = pi
  •  ⇒ 
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de a :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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