Caleule as integrais duplas.
é a regiao triangular delimitada pelas retas
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O problema pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região triangular delimitada pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integração dupla, para resolver isso. Precisamos entender os limites de integração com base na região
e aplicar as técnicas de integração adequadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender e desenhar a região
. Temos três retas que delimitam
:
-
– uma linha que passa pela origem com inclinação 1. -
– o eixo . -
– uma linha vertical onde é constante e igual a .
Quando a gente desenha essas retas, percebe que formam um triângulo com vértices em
,
e
. Então, nossa região de integração
é esse triângulo.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Vamos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Para um dado
entre
e
:
- A menor valor de
é (a base do triângulo). - A maior valor de
é (a hipotenusa do triângulo).
Então, podemos escrever a integral dupla assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
. A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Para resolver essa integral, usamos a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Agora, avaliamos de
a
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.