Caleule as integrais duplas. é a região compreendida por , e
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla , onde a região é delimitada pelas curvas , e . Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e definição de regiões de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde vamos integrar. A curva é a função inversa do seno, definida para entre e . Como temos também o limite e , nossa região está no primeiro quadrante, entre e , e de até .
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em e depois em . Para um valor fixo de , vai de até . E varia de até . Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a . Como é tratado como uma constante nessa parte, a integral de em relação a é:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1raiz2 x cdot arcsin x , dx
Esta integral pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes, onde escolhimos:
u = arcsin x ⇒ du = 1raiz1 - x^2 , dx
dv = x , dx ⇒ v = x^22
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du, temos:
integral x cdot arcsin x , dx = x^22 cdot arcsin x - integral x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Simplificando a segunda integral:
x^22 cdot arcsin x - 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx
Passo 7
Para resolver integral x^2raiz1 - x^2 , dx, vamos fazer uma substituição:
Seja u = 1 - x^2 ⇒ du = -2x , dx ⇒ x , dx = -du2
Reescrevendo a integral:
integral x^2raizu cdot (-du2) = -12 integral x^2raizu , du
Mas lembrando que x^2 = 1 - u, a integral fica:
-12 integral 1 - uraizu , du = -12 ( integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du )
Integrando termo a termo:
-12 ( 2u^1/2 - 23u^3/2 ) = -u^1/2 + u^3/23
Voltando para x:
-raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23
Passo 8
Agora, substituindo de volta na expressão anterior: