Caleule as integrais duplas. integral duplaR x d A ; R é a região compreendida por y=arcsen x, x=1 / raiz2 e y=0

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaR x , dA, onde a região R é delimitada pelas curvas y = arcsin x, x = 1raiz2 e y = 0. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente de integrais duplas e definição de regiões de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. A curva y = arcsin x é a função inversa do seno, definida para x entre -1 e 1. Como temos também o limite y = 0 e x = 1raiz2, nossa região está no primeiro quadrante, entre x = 0 e x = 1raiz2, e de y = 0 até y = arcsin x.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Podemos integrar primeiro em y e depois em x. Para um valor fixo de x, y vai de 0 até y = arcsin x. E x varia de 0 até x = 1raiz2. Então, a integral fica:
integralx=0^1raiz2 integraly=0^arcsin x x , dy , dx

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a y. Como x é tratado como uma constante nessa parte, a integral de x em relação a y é:
integral0^arcsin x x , dy = x cdot y |0^arcsin x = x cdot arcsin x

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^1raiz2 x cdot arcsin x , dx
Esta integral pode ser resolvida usando a técnica de integração por partes, onde escolhimos:
  • u = arcsin x du = 1raiz1 - x^2 , dx
  • dv = x , dx v = x^22

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes integral u , dv = uv - integral v , du, temos:
integral x cdot arcsin x , dx = x^22 cdot arcsin x - integral x^22 cdot 1raiz1 - x^2 , dx
Simplificando a segunda integral:
x^22 cdot arcsin x - 12 integral x^2raiz1 - x^2 , dx

Passo 7

Para resolver integral x^2raiz1 - x^2 , dx, vamos fazer uma substituição:
Seja u = 1 - x^2 du = -2x , dx x , dx = -du2
Reescrevendo a integral:
integral x^2raizu cdot (-du2) = -12 integral x^2raizu , du
Mas lembrando que x^2 = 1 - u, a integral fica:
-12 integral 1 - uraizu , du = -12 ( integral u^-1/2 , du - integral u^1/2 , du )
Integrando termo a termo:
-12 ( 2u^1/2 - 23u^3/2 ) = -u^1/2 + u^3/23
Voltando para x:
-raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23

Passo 8

Agora, substituindo de volta na expressão anterior:
x^22 cdot arcsin x - 12 ( -raiz1 - x^2 + (1 - x^2)^3/23 )
Simplificando:
x^22 cdot arcsin x + raiz1 - x^22 - (1 - x^2)^3/26

Passo 9

Agora, aplicamos os limites de x de 0 a 1raiz2:
Primeiro, para x = 1raiz2:
(1raiz2)^22 cdot arcsin (1raiz2) + raiz1 - (1raiz2)^22 - (1 - (1raiz2)^2)^3/26
Calculando cada termo:
122 cdot pi4 + 1raiz22 - (12)^3/26 = 14 cdot pi4 + 12raiz2 - 12raiz26
Simplificando:
pi16 + 12raiz2 - 112raiz2 = pi16 + 512raiz2
Para x = 0, todos os termos são zero.

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
pi16 + 512raiz2

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