Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando como uma região do tipo 1 e (b) tratando como uma região do tipo 2 .
Onde é a região do primeiro quadrante compreendida pelo círculo e a reta .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo e pela reta . Vamos resolver essa integral de duas maneiras diferentes:
a) Tratando como uma região do tipo 1.
b) Tratando como uma região do tipo 2.
Para isso, precisamos saber como configurar integrais duplas usando integrais iteradas, dependendo da forma como a região está descrita.

Passo 2

Integral do Tipo 1
Região do tipo 1 significa que para cada valor de , varia entre duas funções de . Vamos identificar os limites de integração.
  1. Limites de : A região está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo e pela reta . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
    • Resolva para : .
    • Substitua na equação do círculo: .
    • Expanda: .
    • Combine os termos: .
    • Fatorando: .
    • Soluções: ou .
    Portanto, varia de 0 a 5.
  2. Limites de para cada :
    • A reta: .
    • O círculo: .
    Então, para cada entre 0 e 5, varia de até .

Passo 3

Calculando a Integral do Tipo 1
A integral dupla fica:
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a ):
Simplificando:
Agora, integramos em relação a :
Calculando:

Passo 4

Integral do Tipo 2
Região do tipo 2 significa que para cada valor de , varia entre duas funções de . Vamos identificar os limites de integração.
  1. Limites de : A região está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo e pela reta. Vamos determinar os onde ocorre a interseção.
    Já sabemos que as interseções ocorrem em e (quando e ).
    Portanto, varia de 0 a 5.
  2. Limites de para cada :
    • A reta: .
    • O círculo: .
    Então, para cada entre 0 e 5, varia de até .

Passo 5

Calculando a Integral do Tipo 2
A integral dupla fica:
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a ):
Agora, integramos em relação a :
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeira Integral:
    Usamos substituição , então , ou .
    Avaliando de 0 a 5:
  2. Segunda Integral:
  3. Terceira Integral:
Somando todas as partes:

Resposta

A integral dupla de sobre a região é igual a pelas duas abordagens.

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