Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando R como uma região do tipo 1 e (b) tratando R como uma região do tipo 2 .
integral duplaR y d A
Onde R é a região do primeiro quadrante compreendida pelo círculo x^2+y^2=25 e a reta x+y=5.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo e pela reta . Vamos resolver essa integral de duas maneiras diferentes:
a) Tratando como uma região do tipo 1.
b) Tratando como uma região do tipo 2.
Para isso, precisamos saber como configurar integrais duplas usando integrais iteradas, dependendo da forma como a região está descrita.

Passo 2

Integral do Tipo 1
Região do tipo 1 significa que para cada valor de , varia entre duas funções de . Vamos identificar os limites de integração.
  1. Limites de : A região está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo e pela reta . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas.
    • Resolva para : .
    • Substitua na equação do círculo: .
    • Expanda: .
    • Combine os termos: .
    • Fatorando: .
    • Soluções: ou .
    Portanto, varia de 0 a 5.
  2. Limites de para cada :
    • A reta: .
    • O círculo: .
    Então, para cada entre 0 e 5, varia de até .

Passo 3

Calculando a Integral do Tipo 1
A integral dupla fica:
integral duplaR y , dA = integral0^5 integral5 - x^raiz25 - x^2 y , dy , dx
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a integral5 - x^raiz25 - x^2 y , dy = [ y^22 ]5 - x^raiz25 - x^2 = (raiz25 - x^2)^22 - (5 - x)^22 ):
25 - x^22 - 25 - 10x + x^22 = 25 - x^2 - 25 + 10x - x^22 = 10x - 2x^22 = 5x - x^2
Simplificando:
integral0^5 (5x - x^2) , dx = [ 5x^22 - x^33 ]0^5 = ( 5 cdot 252 - 1253 ) - 0 = 1252 - 1253
Agora, integramos em relação a 1252 - 1253 = 375 - 2506 = 1256 :
Calculando:

Passo 4

Integral do Tipo 2
Região do tipo 2 significa que para cada valor de , varia entre duas funções de . Vamos identificar os limites de integração.
  1. Limites de : A região está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo e pela reta. Vamos determinar os onde ocorre a interseção.
    Já sabemos que as interseções ocorrem em e (quando e ).
    Portanto, varia de 0 a 5.
  2. Limites de para cada :
    • A reta: .
    • O círculo: .
    Então, para cada entre 0 e 5, varia de até .

Passo 5

Calculando a Integral do Tipo 2
A integral dupla fica:
integral duplaR y , dA = integral0^5 integral5 - y^raiz25 - y^2 y , dx , dy
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a integral5 - y^raiz25 - y^2 y , dx = y [ x ]5 - y^raiz25 - y^2 = y ( raiz25 - y^2 - (5 - y) ) = y ( raiz25 - y^2 - 5 + y ) ):
integral0^5 y ( raiz25 - y^2 - 5 + y ) , dy = integral0^5 y raiz25 - y^2 , dy - 5 integral0^5 y , dy + integral0^5 y^2 , dy
Agora, integramos em relação a integral y raiz25 - y^2 , dy :
-12 integral raizu , du = -12 cdot 23 u^3/2 = -13 u^3/2 = -13 (25 - y^2)^3/2
Vamos calcular cada parte separadamente:
  1. Primeira Integral:
    -13 (25 - 25)^3/2 + 13 (25 - 0)^3/2 = 0 + 13 cdot 125 = 1253
    Usamos substituição -5 integral0^5 y , dy = -5 [ y^22 ]0^5 = -5 cdot 252 = -1252 , então integral0^5 y^2 , dy = [ y^33 ]0^5 = 1253 - 0 = 1253 , ou 1253 - 1252 + 1253 = ( 1253 + 1253 ) - 1252 = 2503 - 1252 = 500 - 3756 = 1256 .
    Avaliando de 0 a 5:
  2. Segunda Integral:
  3. Terceira Integral:
Somando todas as partes:

Resposta

A integral dupla de sobre a região é igual a pelas duas abordagens.

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