Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma região do tipo 1 e (b) tratando
como uma região do tipo 2 .
Onde
é a região do primeiro quadrante compreendida pelo círculo
e a reta
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que está no primeiro quadrante e é delimitada pelo círculo
e pela reta
. Vamos resolver essa integral de duas maneiras diferentes:
a) Tratando
como uma região do tipo 1.
b) Tratando
como uma região do tipo 2.
Para isso, precisamos saber como configurar integrais duplas usando integrais iteradas, dependendo da forma como a região está descrita.
Passo 2
Integral do Tipo 1
Região do tipo 1 significa que para cada valor de
,
varia entre duas funções de
. Vamos identificar os limites de integração.
-
Limites de
: A região está no primeiro quadrante e é limitada pelo círculo e pela reta . Vamos encontrar os pontos de interseção dessas duas curvas. - Resolva
para : . - Substitua na equação do círculo:
. - Expanda:
. - Combine os termos:
. - Fatorando:
. - Soluções:
ou .
Portanto,varia de 0 a 5. - Resolva
-
Limites de
para cada : - A reta:
. - O círculo:
.
Então, para cadaentre 0 e 5, varia de até . - A reta:
Passo 3
Calculando a Integral do Tipo 1
A integral dupla fica:
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a
):
Simplificando:
Agora, integramos em relação a
:
Calculando:
Passo 4
Integral do Tipo 2
Região do tipo 2 significa que para cada valor de
,
varia entre duas funções de
. Vamos identificar os limites de integração.
-
Limites de
: A região está no primeiro quadrante e limitada pelo círculo e pela reta. Vamos determinar os onde ocorre a interseção. Já sabemos que as interseções ocorrem eme (quando e ). Portanto,varia de 0 a 5. -
Limites de
para cada : - A reta:
. - O círculo:
.
Então, para cadaentre 0 e 5, varia de até . - A reta:
Passo 5
Calculando a Integral do Tipo 2
A integral dupla fica:
Vamos resolver a integração interna primeiro (em relação a
):
Agora, integramos em relação a
:
Vamos calcular cada parte separadamente:
-
Primeira Integral:Usamos substituição
, então , ou . Avaliando de 0 a 5: -
Segunda Integral:
-
Terceira Integral:
Somando todas as partes:
Resposta
A integral dupla de
sobre a região
é igual a
pelas duas abordagens.
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Use uma diferencial total para aproximar a variação do valor de
de
para
. Compare sua estimativa com a variação real de
.
Use uma integral dupla para calcular o volume: O volume do sólido compreendido pela superfície
e os planos
e
;
Calcule as integrais duplas:
Onde
é a região do primeiro quadrante compreendida por
e
Calcule as integrais iteradas: