Use uma integral dupla para calcular o volume: O volume do sólido compreendido pela superfície z = x^2 e os planos x=0, x=2, y=3, y=0 e z = 0;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido usando uma integral dupla. A gente vai lidar com cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume delimitado pela superfície e pelos planos , , , e . Para isso, vamos precisar montar os limites de integração e integrar a função que descreve a altura do sólido sobre a região definida pelos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região no plano sobre a qual vamos integrar. Os limites para são de 0 a 2 e para de 0 a 3. Isso forma um retângulo no plano .

Passo 3

A função que descreve a altura do sólido é . Isso significa que para cada ponto na região, a altura até a superfície é .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular o volume. A integral dupla vai somar todas as pequenas alturas sobre a região e :

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos na integral externa:
Resolvendo a última integral:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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