Calcule as integrais iteradas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla:
Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo essas integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a . A gente trata como uma constante nessa parte. Então, temos:
Aqui, pode ser puxado para fora da integral porque não depende de :

Passo 3

Agora, vamos integrar de 0 até . A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então .

Passo 5

Com a substituição, os limites de integração também mudam:
  • Quando ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a :

Resposta

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