Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla:
Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo essas integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a
. A gente trata
como uma constante nessa parte. Então, temos:
Aqui,
pode ser puxado para fora da integral porque não depende de
:
Passo 3
Agora, vamos integrar
de 0 até
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
.
Passo 5
Com a substituição, os limites de integração também mudam:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Resposta
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Onde
é a região do primeiro quadrante compreendida por
e
Calcule as integrais duplas de duas maneiras usando integrais iteradas: (a) tratando
como uma região do tipo 1 e (b) tratando
como uma região do tipo 2 .
Onde
é a região do primeiro quadrante compreendida pelo círculo
e a reta
.
O sólido limitado acima pelo paraboloide
, abaixo pelo plano
e lateralmente pelos planos
, e
.
Calcule as integrais iteradas: