Calcule as integrais iteradas:
integral0^pi / 2 integral0^sin (theta) r cos (theta) d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla:
integral0^pi / 2 integral0^sin (theta) r cos (theta) , dr , dtheta
Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo essas integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a integral0^sin (theta) r cos (theta) , dr . A gente trata cos (theta) integral0^sin (theta) r , dr como uma constante nessa parte. Então, temos:
Aqui, pode ser puxado para fora da integral porque não depende de :

Passo 3

Agora, vamos integrar cos (theta) [ 12 r^2 ]0^sin (theta) = cos (theta) ( 12 sin^2 (theta) - 0 ) = 12 cos (theta) sin^2 (theta) de 0 até . A antiderivada de é , então:

Passo 4

Agora, substituímos de volta na integral externa:
integral0^pi / 2 12 cos (theta) sin^2 (theta) , dtheta = 12 integral0^pi / 2 cos (theta) sin^2 (theta) , dtheta
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja , então .

Passo 5

Com a substituição, os limites de integração também mudam:
  • Quando 12 integral0^1 u^2 , du ,
  • Quando ,
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar 12 [ u^33 ]0^1 = 12 ( 13 - 0 ) = 16 em relação a :

Resposta

16

Exercícios relacionados