Calcule as integrais iteradas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral dupla:
Isso está dentro do assunto de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais em coordenadas polares. Para resolver, vamos precisar entender como integrar passo a passo essas integrais iteradas.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral mais interna, que é em relação a
. A gente trata
como uma constante nessa parte. Então, temos:
Aqui,
pode ser puxado para fora da integral porque não depende de
:
Passo 3
Agora, vamos integrar
de 0 até
. A antiderivada de
é
, então:
Passo 4
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja
, então
.
Passo 5
Com a substituição, os limites de integração também mudam:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar
em relação a
: