Onde é a região do primeiro quadrante compreendida por e
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, é a região do primeiro quadrante limitada por , e . Vamos precisar entender bem essas curvas para definir os limites da nossa integração.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região . Temos:
que pode ser reescrita como , uma hipérbole.
, uma linha reta com inclinação 45°.
, uma linha reta com inclinação maior que a anterior.
Passo 3
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites. Igualando com :
Então, o ponto de interseção é .
Agora, igualando com :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar entre as curvas de baixo e de cima para cada intervalo de .
Para variando de até :
A curva de baixo é .
A curva de cima é .
Para variando de até :
A curva de baixo é .
A curva de cima é .
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla dividida em duas partes conforme os intervalos de :