Calcule as integrais duplas:
integral duplaR x^2 d A
Onde R é a região do primeiro quadrante compreendida por x y=1, y=x e y=2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
integral duplaR x^2 , dA
Aqui, R é a região do primeiro quadrante limitada por y cdot x = 1, y = x e y = 2x. Vamos precisar entender bem essas curvas para definir os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região R. Temos:
  • y cdot x = 1 que pode ser reescrita como y = 1x, uma hipérbole.
  • y = x, uma linha reta com inclinação 45°.
  • y = 2x, uma linha reta com inclinação maior que a anterior.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites. Igualando y = 1x com y = x:
x = 1x Rightarrow x^2 = 1 Rightarrow x = 1
Então, o ponto de interseção é (1, 1).
Agora, igualando y = 1x com y = 2x:
2x = 1x Rightarrow 2x^2 = 1 Rightarrow x^2 = 12 Rightarrow x = raiz22
Então, o ponto de interseção é (raiz22, raiz2).

Passo 4

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x. Para isso, precisamos expressar y entre as curvas de baixo e de cima para cada intervalo de x.
Para x variando de raiz22 até 1:
  • A curva de baixo é y = x.
  • A curva de cima é y = 1x.
Para x variando de 0 até raiz22:
  • A curva de baixo é y = 2x.
  • A curva de cima é y = 1x.

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla dividida em duas partes conforme os intervalos de x:
integral duplaR x^2 , dA = integral0^raiz22 integral2x^1x x^2 , dy , dx + integralraiz22^1 integralx^1x x^2 , dy , dx

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
integral0^raiz22 integral2x^1x x^2 , dy , dx = integral0^raiz22 x^2 ( 1x - 2x ) , dx = integral0^raiz22 (x - 2x^3) , dx
Integrando em relação a x:
[ x^22 - 2x^44 ]0^raiz22 = ( (raiz22)^22 - 2(raiz22)^44 ) = ( 242 - 2 cdot 4164 ) = ( 14 - 18 ) = 18

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integralraiz22^1 integralx^1x x^2 , dy , dx = integralraiz22^1 x^2 ( 1x - x ) , dx = integralraiz22^1 (x - x^3) , dx
Integrando em relação a x:
[ x^22 - x^44 ]raiz22^1 = ( 12 - 14 ) - ( (raiz22)^22 - (raiz22)^44 ) = ( 14 ) - ( 242 - 4164 ) = 14 - ( 14 - 116 ) = 116

Resposta

Somando as duas partes, a integral dupla vale:
18 + 116 = 316

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