Calcule as integrais duplas:
Onde é a região do primeiro quadrante compreendida por e

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla:
Aqui, é a região do primeiro quadrante limitada por , e . Vamos precisar entender bem essas curvas para definir os limites da nossa integração.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar as curvas para visualizar a região . Temos:
  • que pode ser reescrita como , uma hipérbole.
  • , uma linha reta com inclinação 45°.
  • , uma linha reta com inclinação maior que a anterior.

Passo 3

Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para definir os limites. Igualando com :
Então, o ponto de interseção é .
Agora, igualando com :
Então, o ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos decidir a ordem de integração. Vou integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para isso, precisamos expressar entre as curvas de baixo e de cima para cada intervalo de .
Para variando de até :
  • A curva de baixo é .
  • A curva de cima é .
Para variando de até :
  • A curva de baixo é .
  • A curva de cima é .

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla dividida em duas partes conforme os intervalos de :

Passo 6

Vamos resolver a primeira integral:
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Integrando em relação a :

Resposta

Somando as duas partes, a integral dupla vale:

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