Use uma diferencial total para aproximar a variação do valor de de para . Compare sua estimativa com a variação real de .

Passo 1

Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para a gente usar a diferencial total para aproximar a variação da função do ponto para o ponto , e depois comparar essa estimativa com a variação real de .
Matéria envolvida: Diferenciais totais e aproximações lineares.
O que vamos precisar:
  • Calcular as parciais de .
  • Encontrar a diferencial total .
  • Aplicar a diferencial total para estimar a variação.
  • Calcular a variação real de entre e .
  • Comparar os dois resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função .
Podemos simplificar a função:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto .
Substituindo e :

Passo 5

A diferencial total é dada por:
No ponto , temos e , então:

Passo 6

Agora, vamos identificar as variações de e de para .

Passo 7

Usando a diferencial total para aproximar a variação de :

Passo 8

Agora, vamos calcular a variação real de de para .
Primeiro, calculamos :
Calculando :
Então, a variação real é:

Passo 9

Finalmente, vamos comparar a estimativa da diferencial total com a variação real:
çã
A diferença entre as duas é pequena, o que mostra que a aproximação usando a diferencial total foi eficiente.

Resposta

A variação aproximada de usando a diferencial total é e a variação real é aproximadamente . A estimativa está bastante próxima do valor real.

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