Use uma diferencial total para aproximar a variação do valor de
de
para
. Compare sua estimativa com a variação real de
.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o enunciado pede para a gente usar a diferencial total para aproximar a variação da função
do ponto
para o ponto
, e depois comparar essa estimativa com a variação real de
.
Matéria envolvida: Diferenciais totais e aproximações lineares.
O que vamos precisar:
- Calcular as parciais de
. - Encontrar a diferencial total
. - Aplicar a diferencial total para estimar a variação.
- Calcular a variação real de
entre e . - Comparar os dois resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
.
Podemos simplificar a função:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular essas derivadas no ponto
.
Substituindo
e
:
Passo 5
A diferencial total
é dada por:
No ponto
, temos
e
, então:
Passo 6
Agora, vamos identificar as variações de
e
de
para
.
Passo 7
Usando a diferencial total para aproximar a variação de
:
Passo 8
Agora, vamos calcular a variação real de
de
para
.
Primeiro, calculamos
:
Calculando
:
Então, a variação real é:
Passo 9
Finalmente, vamos comparar a estimativa da diferencial total com a variação real:
A diferença entre as duas é pequena, o que mostra que a aproximação usando a diferencial total foi eficiente.
Resposta
A variação aproximada de
usando a diferencial total é
e a variação real é aproximadamente
. A estimativa está bastante próxima do valor real.
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e
;
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.
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e