Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração: , onde R é o triângulo limitado pelas retas e a reta . S:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo limitado pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e geometria para identificar os limites de integração.

Passo 2

Vamos desenhar o gráfico das retas que limitam a região para visualizar melhor:
  1. é o eixo .
  2. é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  3. é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .
O triângulo formado por essas três retas é a nossa região de integração.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para integrais duplas, precisamos decidir a ordem de integração (primeiro depois ou vice-versa). Vou escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Observando a região :
  • varia de até (entre as retas e ).
  • varia de até (pois a reta intercepta o eixo em ).
Então, os limites de integração ficam:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
Primeiro integramos em relação a , mantendo constante.

Passo 5

Vamos integrar a função em relação a entre e :
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado em relação a de a :
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Fatore as expressões:
Faça as operações indicadas
Fatore as expressões: