Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração: integral duplaR^ Let 2 x y d A, onde R é o triângulo limitado pelas retas y=0, y=x e a reta x+y=2. S: 2 / 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo limitado pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e geometria para identificar os limites de integração.

Passo 2

Vamos desenhar o gráfico das retas que limitam a região para visualizar melhor:
  1. é o eixo .
  2. é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°.
  3. é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .
O triângulo formado por essas três retas é a nossa região de integração.

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. Para integrais duplas, precisamos decidir a ordem de integração (primeiro 0 <= y <= x 0 <= x <= 2 depois ou vice-versa). Vou escolher integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Observando a região :
  • varia de até (entre as retas e ).
  • varia de até (pois a reta intercepta o eixo em ).
Então, os limites de integração ficam:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
integral duplaR 2xy , dA = integral0^2 integral0^x 2xy , dy , dx
Primeiro integramos em relação a , mantendo constante.

Passo 5

Vamos integrar a função integral0^x 2xy , dy = 2x integral0^x y , dy em relação a 2x [ y^22 ]0^x = 2x ( x^22 - 0 ) = 2x cdot x^22 = x^3 entre e :
A integral de em relação a é , então:

Passo 6

Agora, vamos integrar o resultado integral0^2 x^3 , dx em relação a [ x^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 - 0 = 4 de a :
A integral de em relação a é , então:

Resposta

A integral dupla vale .

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