Calcule as integrais duplas e ilustre a região de integração:
, onde R é o triângulo limitado pelas retas
e a reta
. S:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo limitado pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo de integrais duplas e geometria para identificar os limites de integração.
Passo 2
Vamos desenhar o gráfico das retas que limitam a região
para visualizar melhor:
-
é o eixo . -
é uma reta que passa pela origem com inclinação 45°. -
é uma reta que intercepta o eixo em e o eixo em .
O triângulo formado por essas três retas é a nossa região de integração.
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. Para integrais duplas, precisamos decidir a ordem de integração (primeiro
depois
ou vice-versa). Vou escolher integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Observando a região
:
-
varia de até (entre as retas e ). -
varia de até (pois a reta intercepta o eixo em ).
Então, os limites de integração ficam:
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla com os limites que encontramos:
Primeiro integramos em relação a
, mantendo
constante.
Passo 5
Vamos integrar a função
em relação a
entre
e
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado
em relação a
de
a
:
A integral de
em relação a
é
, então:
Resposta
A integral dupla vale
.
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