Calcule a integral iterada de para

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada da função sobre a região definida por e . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular pode ser calculada como uma integral iterada, ou seja:
No nosso caso, , , e . Então, a integral dupla fica:

Passo 3

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante em relação a . Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja , então . Quando , , e quando , . A integral fica:
A integral de é . Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.

Passo 5

Primeiro, calculamos . Usamos a técnica de integração por partes, onde:
Assim,
Agora, avaliamos de 0 a :
Sabendo que e , temos:

Passo 6

Agora, calculamos . Para isso, usamos uma substituição semelhante:
Seja , então e . A integral torna-se:
Usando integração por partes para :
E para :
Assim, temos:
Substituindo de volta :
Simplificando:
Agora, avaliamos de 0 a :
Simplificando:

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes:
Para obter um valor numérico, podemos calcular cada termo:
Sabemos que:
E aproximando os valores de e :
Substituindo:
Então:

Resposta

A integral iterada de sobre a região é aproximadamente .

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Em cada caso, determinar as derivadas parciais da função dada:
f)
Calcule as integrais duplas e ilustre a regiāo de integraçāo:
, onde R é a regiāo limitada pelas restas e .
Inverta a ordem de integração para calcular a integral.