Calcule a integral iterada de
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral iterada da função sobre a região
definida por
e
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar e calcular integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que uma integral dupla sobre uma região retangular
pode ser calculada como uma integral iterada, ou seja:
No nosso caso,
,
,
e
. Então, a integral dupla fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante em relação a
. Podemos fazer uma substituição para facilitar. Seja
, então
. Quando
,
, e quando
,
. A integral fica:
A integral de é
. Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da integral interna de volta na integral externa:
Essa integral pode ser dividida em duas partes:
Vamos calcular cada uma separadamente.
Passo 5
Primeiro, calculamos
. Usamos a técnica de integração por partes, onde:
Assim,
Agora, avaliamos de 0 a
:
Sabendo que e
, temos:
Passo 6
Agora, calculamos
. Para isso, usamos uma substituição semelhante:
Seja
, então
e
. A integral torna-se:
Usando integração por partes para
:
E para
:
Assim, temos:
Substituindo de volta
:
Simplificando:
Agora, avaliamos de 0 a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, juntamos as duas partes:
Para obter um valor numérico, podemos calcular cada termo:
Sabemos que:
E aproximando os valores de e
:
Substituindo:
Então:
Resposta
A integral iterada de sobre a região
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral iterada de
para
Em cada caso, determinar as derivadas parciais
da função dada:
f)
f)
Calcule as integrais duplas e ilustre a regiāo de integraçāo:
, onde R é a regiāo limitada pelas restas
e
.
Inverta a ordem de integração para calcular a integral.